“象比羊大这一说法是否正确？”你可能会在头脑中浮现这种动物，然后借助形象去做判断。在数学学习中，由于数与形有对应关系，因而在头脑里理解数学对象时往往借助于形象。例如，“偶函数”，“增函数”等概念，个体头脑中首先会呈现出它们的图像，而不是它们的代数定义。再如：1，2，3。。。这些数的形象可以是一堆小石子。事实上，数学概念的形象不仅是对事物形成的感性具体的形象，更多的情形是一种“想像的过程”。例如；对于”A是B的真子集”，可以想像为“圆A位于圆B之中”；“加法概念”，可以借助手势想像成“把两部分合在了一起”。
      你有没有数学学习中让“想像”助你一臂之力？
      第一个深刻的一个例子发生在我上中学的一节数学课后。新课的内容是“平行线被第三条直线所截所形成的角”,这节课需要掌握什么是“同位角”，什么是“同旁内角”，什么是“内错角”。一节课下来，我听的很是“云里雾里”。下课了，有几个平时学得“灵光”的同学在我旁边叽叽喳喳的讨论，可能他们当时也不是特别明白新课的内容，至今，我还能清楚的回忆起他们最后得到的几句"结论"：“内错角啦，就像个Z形的，同位角啦就像个F形啦，同旁内角就划了个框!" ， 真是给我这个“笨”学生一个“激灵”。
      我已经不记得老师是怎么讲解这一节课的，但事实是他把个新名词用他理解的方式讲解了半天，还不如学生自己的想像打破了理解障碍。还是挺佩服当时的这些同学，以我现在“老师”的眼光看，他们真是会“学”的学生！比老师还“棒”！
        第二个深刻的例子还是跟 “平行线被第三条直线所截所形成的角”有关，而那时，已经是芜湖十四中学的一名数学老师了。这节课，结合板书画出的图形，我把最后的那几个“想像”出的结论留给学生自己得到，也就是学生可以从图中分辨出这三类角了。要做的则是帮助学生记住“同位角”，“同旁内角”，“内错角”，这几个新名称。就好像学生认识了张三，我要做的是帮助记住“张三”这个名字。怎样记住这几个新名称呢？同样，借助了“想像的过程”：“内错角”就是都被夹在了直线的“内部”而且彼此“错开了”所以叫“内错角”，“同位角”就是它们在直线上的位置其实是“相同”的。而“同旁内角”则是都在直线的“同”一旁，而且都在直线的“内”部。就如同“张三”为什么叫“张三”，因为“在家排行老三”，这样自然。
     第三个深刻的例子发生在这些年家教辅导中。我发现，学生们不论数学学业能力高低，好像都对三角形的“高”“拿不准”，特别是在钝角三角形中。让我们还是发挥想象力，在想像的过程中理解概念吧。“高”：顾名思义是“高度”，那我们怎么去测量三角形的高度？很自然的，第一步：先把它“放平”，也就是把它的一条边当作“底”；第二步：自然是从它的最高的那一点，也就是“顶点”那里往水平线，也就是底边，作出垂线；第三步；量这条垂线段的长度，自然就是三角形的“高”度了。整个过程其实就是在给三角形“量身高”。因为把三角形放平有三种方法，也就是三角形的三条边都可以当作底，那自然的，三角形也是有三个不同的“高”度。不妨剪下一个钝角三角形，摆一摆，比一比，演示三种情形下不同的高度，帮助学生去想象。运用“想像的过程”“活化”了概念，比教科书上中规中矩的定义要好理解多了。
     这仅是几例感受颇深的例子， 从另一角度去说，应该算是具有非逻辑功能、产生直观、形象、想象、思维的“右半脑”的贡献。爱因斯坦也说：“我思考问题时不是用语言进行思考，而是用活动的、跳跃的形象进行思考”。那么，运用具有无穷潜力的右半脑，发挥出我们的想象力，帮我们理解数学概念，岂不是“不在话下”“小菜一碟”的事情？

        接触过很多成绩一般，只要求辅导课内知识的学生或家长，提到学“奥数”，不说谈虎色变吧，起码觉得望而生畏，觉得课内的学习就已经吃力了，还学什么奥数。
        奥数是奥林匹克数学的简称，听起来是挺慎人的。 这些年，教了很多“类型”的“奥数”，有的是参加各类杯赛，为了拿到证书的；有的是报名了重点中学的“占坑班”，需要在阶段考试中排到好名次，分到尖子班的；有的是为了考某些中学，需要加试数学的；也有课内“吃不饱”，单纯为了拔高的（这类比较少）。。。我的的体会是：奥数题，听起来起点很高，实质也是基于课内知识点，不过是需要更深入的思考，才能完成的。而且它本身的难度也是分梯度的，并不是高不可攀。
       举个简单例子：A有3个苹果，B比A多两个，问B有多少个苹果。一年级的学生一般都不会做错。稍微改动一下：A有3个苹果，比B少2个苹果，问B有几个苹果？ 真的，绝大多数高年级的学生都会做错。究其主要原因，学生们在课内经过了多次反复单一类型的练习，很多人已经思维定势了，看见”少”字，就用减法去做。通俗说，不思考，做题是机械纯操作。
       再来一个例子：一根木头。锯1次5分钟，锯成3段需要几分钟？这个是二年级乘法的应用。各个年级都有同步的“奥数”，这些奥数题，一般在课内接触不到，但它确实能激起学生的神经，让脑细胞活跃起来，它甚至并不需要老师的讲解，稍微再深入思考一下就可以得解。这样的“奥数”，我相信就是人人可以学的“奥数”，就是有价值的，可不是只有“尖子生”才能学的！
       这些扎根于课内知识的的“奥数”，它的变化，灵活，多样，激起学生思考的欲望，点燃思维的火花，让那些课内学习不理想的学生在学“奥数”中，收获课内学业的进步。
               

       十月底的时候，我开始辅导一个五年级女生，学得有些力不从心。一次，她在校内刚刚学习了平面图形的单元，家教课下课后，她爸爸边送我出门，边跟她叮咛：“好好跟老师学啊，把那些图形公式啊好好背背，总是记不住。。。。”
       这句话看似随意，却映射出一种普遍存在的看法，把数学看的"死"了。
      数学是什么？数学不是知识的和结论的堆砌，数学产生于问题，在解决问题的过程中形成理论，同时不断修正，发展着。 猜想，尝试，推理，验证，等等这些“数学活动”的过程，才是数学“活”的本质。譬如平面图形的单元中，记住平行四边形的面积公式不是目的，会利用割补平移方法进行推导，才是需要掌握的，记住公式的结果则是水到渠成的事情。
     对数学的不同看法，必然会产生不同的数学学习方法。
     用静态的观点来看数学，把知识视为一种“结果”就会把学习定位在“接受”层面。学生把学习看成是无条件的接受真理。久而久之，就会在心目中形成数学是一门单调，机械和无味的学科的观念，何谈数学学习热情和动力？（家长，如果您的孩子是低年级，考得高分不必沾沾自喜，低年级内容简单，被动接受的“死”学，不会暴露出大问题。但一旦升入中高年级，必定“塌方”，看似很突然，其实隐患早已埋下。）
     用动态的观点认识数学，就回把学习理解为一种“数学活动”，是一种在体验数学的发生和发展中获得知识的过程。数学学习是一种主动参与，积极思维，发现问题和解决问题的活动，这样才能全身心的投入学习，必定会事半功倍，促成学习的良性循环。 譬如辅导的这名女生，平面图形面积公式开始是纯记忆的，经常混淆记不牢。索性让她把课本放下，课本不是字典不是用来查公式的。动起来，动脑和动手，一起看看这些面积是怎样得到的，主动的参与到过程中去。这样得到的面积公式是“活”的知识，才是正真属于她自己的，你说她会轻易忘记么？
      一言以蔽之：“ 知其然知其所以然，才会学得有滋有味，学得有声有色。”

          我上学的时候，九十年代那时候，作业的批改，特别是数学作业，错的题老师都是直接盖上红红的大叉，非常醒目。订正错题，基本上是抄题目重写一边，丝毫不能怕麻烦。有时候，老师让同学们交换的改作业，彼此之间也是毫不客气的逮着错就给叉。
         到了2000年，我在芜湖十四中当数学老师，看到错也是给个鲜红的叉，绝不吝啬的。
         等2007我年从首师大毕业，到府学小学当数学老师，再到做全职家教老师的这些年，发现（起码是北京这边）不知什么时候起，老师判作业就不再使用红叉了，取而代之的是非常短的一个小斜杠。学生改也很简单，擦掉错的直接写上正确的答案。
          这个斜杠画上去的感觉，不是让错误显而易见，而是希望你尽量看不到。
         从我的经验来看，这样的方式很不好：
           画上斜杠的唯一好处是：书面变得整洁了，表面上好看了。但我要问；判作业的目的是什么？不是让错题显而易见么？只图表面好看，有什么意义呢？
           更为重要的是，画斜杠不利于培养孩子直面错误的心理。
           当学生翻看作业本，看到的是鲜红的叉，跟看到的是小斜杠，试问哪一个会带来心灵的震撼呢？对待错题第一步就是要正视它，越是遮掩，越不能改掉它，对自我意识比较强的学生，可能是心灵上的小打击，但人都是从错误中成长的呀，不拍犯错误，会让心理的承受力增强，培养好的心理素质。而另一面，对某些自我意识比较弱的学生，看到小斜杠，他会满不在乎，甚至自我感觉还不错，根本意识不到问题在哪里，更谈不上积极的改正错误了。
           学校的老师，为了某种原因，可能弃用了红叉。但是，希望还是有更多的老师用起来。红叉虽然看起来难看，但是它真实。学习数学的一个精神就是真实，对就是对，错就是错。
           只有直面真实，才能做出改变，才能变得更优秀。