函数——奇偶性与周期性
一、要点梳理
1、奇函数、偶函数及其判定
对于函数[pic]及其定义域关于原点对称：
①如果对于函数定义域内任意一个[pic]，都有
，那么函数[pic]就是偶函数；
②如果对于函数定义域内任意一个[pic]，都有
，那么函数[pic]就是奇函数；
③如果一个函数是奇函数（或是偶函数），则称这个函数在其定义域内具有奇偶性。2、判定函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
①考察定义域是否关于
②根据定义域考察表达式[pic]是否等于[pic]或[pic].
若[pic] ，则[pic]为奇函数；
若 [pic] ，则[pic]为偶函数；
若[pic] ，且[pic] ，则[pic]既是奇函数又是偶函数；
若[pic]且[pic]，则[pic]既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数。3、奇偶函数的性质
①奇函数图像关于 对称；偶函数图像关于 对称；
②若函数[pic]在[pic]处有意义，则[pi...点击查看全部>> c]
③奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性
；偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性
④若函数[pic]为偶函数，则[pic]反之也成立。4、周期函数的概念
①对于函数[pic]，如果存在一个 常数[pic]，使得当[pic]取定义域内的
值时，都有 ，那么函数叫做周期函数，非零常数[pic]叫[pic]的
，如果所有的周期中存在一个 ，那么这个 数就叫做[pic]的最小正周期。
②设[pic]为非零常数，若对[pic]定义域内的任意的[pic]，恒有下列条件之一成立：
[pic]则[pic]是 函数， 是它的一个周期（上述式子分母不为零）二、题型解析
例1 判断下列函数的奇偶性
[pic] [pic]
[pic] [pic]（5）[pic] [pic]（7）[pic] [pic]例2 根据奇偶性求解析式
已知[pic]是[pic]上的奇函数，且当[pic]时，[pic]，求[pic]例3 抽象函数奇偶性的证明
（1）函数[pic]，[pic]，若对于任意实数[pic]，都有[pic]，求证：[pic]为奇函数。（2）设函数[pic]定义在[pic]上，证明[pic]是偶函数，[pic]是奇函数。
例4 奇偶性与单调性综合应用
设函数[pic]对于任意的[pic]，都有[pic]，且[pic]时[pic],[pic]
（1）求证[pic]是奇函数；
（2）试问当[pic]时，[pic]是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
例4 函数的周期性
设函数[pic]是定义域[pic]上的奇函数，对任意实数[pic]有[pic]成立
（1）证明：[pic]是周期函数，并指出周期；
（2）若[pic]，求[pic]的值
例5 函数周期性与奇偶性的综合应用
（填空）（1）函数[pic]为偶函数，则函数[pic]的图像的对称轴方程为
（2）已知函数[pic]为奇函数且定义域为[pic]，[pic]时[pic]，[pic]的解析式为（3）[pic]是定义在[pic]上的奇函数，且[pic]时，[pic]为增函数，则不等式[pic]的
解集为
（4）函数[pic]为奇函数，则函数[pic]的图像的对称中心为
（5）已知[pic]是定义在[pic]上的偶函数，且在[pic]为增函数，若[pic]，求[pic]的
取值范围
已知函数[pic]的定义域为[pic]，且满足[pic]
（1）求证：[pic]是周期函数；
（2）若[pic]为奇函数，且当[pic]时，[pic]，求使[pic]在[pic]上的所有[pic]的个数
。
高考训练
1、设[pic]是[pic]上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A、[pic]是奇函数 B、[pic]是奇函数
C、[pic]是偶函数 D、[pic]是偶函数
2、设函数[pic]是奇函数，若[pic]，则[pic]
3、设函数[pic]为奇函数，则[pic]，则[pic]等于（ ）
A、0 B、1 C、[pic] D、5
4、若函数[pic]是定义在[pic]上的偶函数，在[pic]上是减函数，且[pic]，则使得[pic]
的取值范围是( )
A、[pic] B、[pic] C、[pic] D、[pic]
5、已知定义在[pic]上的奇函数[pic]满足[pic]，则[pic]的值为（ ）
A、[pic] B、[pic] C、[pic] D、[pic]
6、在[pic]上定义的函数[pic]是偶函数，且[pic]，若[pic]在区间[pic]上是减函数，
则[pic]（ ）
A、在区间[pic]上是增函数，在区间[pic]上是增函数
B、在区间[pic]上是增函数，在区间[pic]上是减函数
C、在区间[pic]上是减函数，在区间[pic]上是增函数
D、在区间[pic]上是减函数，在区间[pic]上是减函数
7、已知函数[pic]为奇函数，若[pic]，则[pic]
8、设[pic]是奇函数，则使[pic]取值范围是（ ）
A、[pic] B、[pic] C、[pic] D、[pic]
9、已知定义域为[pic]的函数[pic]在[pic]上为减函数，且函数[pic]为偶函数，则（
）
A、[pic] B、[pic] C、[pic] D、[pic]
10、函数[pic]，若[pic]，则[pic]的值为（ ）
A、3 B、0 C、-1 D、-2
11、（2009年湖北八校第一次联考）已知函数[pic]是定义为[pic]上的奇函数，且它的
图像关于直线[pic]对称
（1）求证：[pic]是周期为4的周期函数；
（2）若[pic]，求[pic]时，函数[pic]的解析式。
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