第五课时 导数的几何意义（一）
一、教学目标：
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；
2、理解曲线在一点的切线的概念；
3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解导数的几何意义
教学难点：求简单函数在某点出的切线方程
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导数的概念及求法。
（二）、探究新课
设函数[pic]在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为[pic]，如右图所示，它是过A（x0，[pic]
）和B（x0＋Δx，[pic]）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线[pic]在点A处的一条割
线。
如右图所示，设函数[pic]的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不
同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线[pic]趋于点A，割线AB
将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线[pic]在点A处“相切”
，称直线l为曲线[pic]在点A处的切线。该切线的斜率就是函数[pic]在x0处的导数[pic]
。
函数...点击查看全部>> [pic]在x0处的导数，是曲线[pic]在点（x0，[pic]）处的切线的斜率。函数[pic]
在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点[pic]处的切线的斜率，
即 [pic]
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点[pic]处的变化率[pic] ，得到曲线在点[pic]的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
2、导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,[pic]
是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：
[pic]或[pic]，
即: [pic]
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
3、函数[pic]在点[pic]处的导数[pic]、导函数[pic]、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数[pic]，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的
极限，它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数[pic]在点[pic]处的导数[pic]就是导函数[pic]在[pic]处的函数值，这也是
求函数在点[pic]处的导数的方法之一。
例1、已知函数[pic]， x0＝－2。
（1）分别对Δx=2，1，0.5求[pic]在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点
（x0，[pic]）的相应割线；
（2）求函数[pic]在x0＝－2处的导数，并画出曲线[pic]在点（－2，4）处的切线。 解：（1）Δx=2，1，0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-
1.5]。[pic]在这些区间上的平均变化率分别为
[pic]，
[pic]，
[pic].
其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l1，过点（-
2，4）和点（-1，1）的直线l2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l3.
（2）[pic]在区间[-2，-2＋Δx]上的平均变化率为
[pic].
令Δx趋于0，知函数[pic]在x0＝－2处的导数为-4。
曲线[pic]在点（-2，4）处的切线为l，如右图所示。
例2、求函数[pic]在x=1处的切线方程。
解：先求[pic]在x=1处的导数：
[pic]
令Δx趋于0，知函数[pic]在x=1处的导数为[pic]。
这样，函数[pic]在点（1，[pic]）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，
2），斜率为6.
因此切线方程为 y-2=6(x-1).
即 y=6x-4.
切线如图所示。
（三）、小结：函数[pic]在x0处的导数，是曲线[pic]在点（x0，[pic]）处的切线的斜
率。函数[pic]在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
（四）、练习：课本[pic]练习：1、2.
（五）、作业：课本[pic]习题2-2中A组4、5
五、教后反思：
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