19.4 课题学习 重心
◆回顾归纳
1．线段的重心是_______．
2．平行四边形的重心是______，正方形，矩形，菱形的重心是_______．
3．三角形的重心是_____，等腰三角形的重心位置在_____，等边三角形的重心位置在_
__________________．
◆课堂测控
测试点 重心位置的确定
1．寻找任意多边形的重心方法，我们通常是在这个多边形的每个顶点处钉一个小钉，用
下端系有重物的细线缠绕在一个小钉上，吊起这个硬纸板，记下铅垂线的痕迹，重复
地实验操作，这些痕迹的交点，就是这个多边形的重心，实质上，只须操作_______次
就可以确定重心的位置．
2．如图1所示，正方形ABCD的重心是O，则OA，OB，OC，OD之间的长度关系是_______．
[pic][pic][pic][pic]
图1 图2 图3 图4
3．如图2所示，[pic]ABCD的重心是O，则点O到AD边的距离与点O到BC边的...点击查看全部>> 距离______．4．如图3所示，菱形ABCD的重心是O，则A，O，C三点______，B，O，D三点_____且OA__
___OC，OB_____OD．
5．（体验探究题）如图4所示，有一块质地均匀的方角形钢板，请你通过作图找出这块
钢板的重心．（不写作法，保留作图痕迹，在图中标出重心O点）
◆课后测控
1．矩形的重心是_____交点．
2．如图5所示，在矩形ABCD中，E是AD上任一点，连结CE，F是CE的中点，若△BFC的面积
为6cm2，则矩形ABCD的面积为______．
[pic][pic][pic][pic]
图5 图6 图7 图8
3．如图6所示，已知任意直线L把[pic]ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直
线L所在位置需满足的条件是_______．（只需填上一个你认为合适的条件）
4．如图7所示，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠A=∠B=90°，则可以将五边形ABCDE分成面积
相等的两部分的直线有_____条，满足条件的直线可以这样确定：______．
5．如图8所示，矩形ABCD的重心是O，则图中共有______对全等三角形．
6．下列说法错误的是（ ）
A．线段的重心在线段的中垂线上
B．菱形的重心是菱形一条对角线的交点
C．矩形的重心是矩形两条对称轴的交点 D．正方形的重心是正方形内任一点
7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，G是△ABC的重心，过G点作GD⊥AB，GE⊥AC，垂足为D，E
．
（1）猜想：GD_______GE；
（2）试对上面的猜想加以证明．
[pic]
8．在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有
一组对顶角的两个图形全等． （1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有__
___组；
（2）请在下图的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
[pic]
◆拓展创新
9．探究下列问题：（1）在图（1）给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线，竖
直方向的直线，与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积
相等的两部分；（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分
成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图（2）中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系（用“<”、“＝”或“
>”连接）；②请你在图（3）中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线
上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”、“＝”或“>”连接）．（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图（4）分割成面积相等的两部分
，请简略说出理由．
答案:
回顾归纳
1．线段的中点
2．对角线的交点，对角线的交点
3．三条中线的交点，底边的高线上，每条边的高的交点
课堂测控
1．两 2．OA=OB=OC=OD
3．相等
4．在一条直线上，在一条直线上，=，=
5．如图．
[pic]
课后测控
1．对角线 2．24cm2 3．过AC与BD的交点4．无数，设该直线与边DE，AB的交点分别为P，Q，线段PQ的中点为O，则经过点O与边D
E，AB相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分
5．4 6．D
7．（1）D=C
（2）连结AG并延长交BC于D．
∵G是△ABC的重心，∴AD是△ABC的中线，
∵AB=AC，∴AD平分∠BAC．
又∵GD⊥AB，GE⊥AC，∴GD=GE．
8．（1）无数
（2）只要两条直线都过对角线的交点即可．
（3）这两条直线过平行四边形的重心（或过对角线的交点）．
拓展创新
9．（1）
[pic]
（2）①S1S2
[pic]
②S1S2
（3）存在．对于任意一条直线L，在直线L从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线
L分割后，直线L两侧图形的面积分别为S1，S2．两侧图形的面积由S1S2）的
情形，逐渐变为S1>S2（或S1 ．因此，一定存在一条直线，将一个任意的平面图形分割成面积相等的两部分．
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