2010-2011学年《勾股定理》的基本知识、主要考点、配套试题
§18．1 勾股定理
◆考点1．勾股定理的探索与验证
※探索类考题：
如图，S1= ，S2= ，S3= ；
因此：S1+S2= S3，
即（ ）2+（ ）2=（ ）2。※验证类考题：
利用下列各图分别写出验证勾股定理“[pic]”的过程：
(1) (2) (3)
◆考点2．勾股定理与“面积和差问题”
考题：图(1)中两个小正方形的面积分别为33和67，则大正方形边长a= ；
图(2)中两个小正方形的边长分别为4和7，则大正方形面积S= 。（09义乌）如图，已知在Rt△ABC中，AB=4，
分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为
S1，S2，则S1+S2= 。
（更多的问题请参考讲义《“勾股定理”巧解面积和差问题》）
◆考点3．已知三角形的两边求一边
注意点：分类讨论
考题：（09杭州）一个直角三角形的...点击查看全部>> 三边长分别为3，4，x，则x= 。
（09黄冈）矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线[pic]上，且向右滚动，当
翻滚至类似于开始位置时，则顶点A所经过的路线长为 。
（09嘉兴）如图，在直角坐标系中，点A（-
3，0）、B（0，4），将△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④……，则三角形
⑩的直角顶点坐
标为 。◆考点4．已知三角形的一边求两边
解法指导：在一个直角三角形中，只有一条边长是已知的，我们需要寻找未知两边的长
度关系，用一个字母来表示，然后利用“勾股定理”列方程解题。
（09天津）已知一个直角三角形纸片AOB，
其中∠AOB=90o，OA=2，OB=4，将该纸片
放在直角坐标系中，折叠该纸片，使点A、
B重合，折痕与边OB交于点C，求点C的
坐标。（更多此类问题请参考讲义《“勾股定理”巧解“折叠求长”问题》）◆考点5．最短路径问题
问题分类：①平面展开； ②对称性
考题：（08福州）矩形OABC中，OA=3，OC=2，点E是AB中点，将△ABD沿BD翻折，使点A落
在BC边上F处。
(1)求证：四边形ABFD是正方形；
(2)直接写出点E、F的坐标；
(3)x轴上存在点P，使PE+PF最短，求点P坐
标，以及PE+PF的最小值；
(4)x、y轴上存在点M、N，使得四边形MNFE
的周长最小，求出周长的最小值。
（更多此类问题请参考讲义《“最短路径”与展开图问题》）
◆考点6．无理数的表示
|常见无理数（斜 |两个有理数（直角 |
|边） |边） |
| [pic] |1和1 |
|[pic] |1和2 |
|[pic] |2和2 |
|[pic] |1和3 |
|[pic] |2和3 |
|[pic] |1和4 |
|[pic] |2和4 |
问题分类：
作图题；②“赵爽弦图”问题。
※常见作图题：
①请在右图中画一条长为[pic]的线段AB；
②请在右图画一个三边长分别为[pic]，
[pic]，[pic]个单位的三角形。
③（09温州）在所给的[pic]方格中，按要求画平行四边形，使它的四个顶点和对角线交
点都在格点上。要求在图(1)中，画周长是整数的平行四边形；在图(2)中，画周长不是
整数的平行四边形；在图(3)中，画面积为17的正方形。
※常见“赵爽弦图”问题：
（09金华）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个
小正方形拼成大正方形，若小正方形面积为4，大正方形面
积为100，则一个直角三角形的周长是 。
（更多此类问题请参考讲义《与“赵爽弦图”有关的问题》）
◆考点7．勾股数的规律
※最短边为奇数的考题：
观察下列各组勾股数：“3、4、5”；“5、12、13”；“7、24、25”……，若设最短边为n，第
二边为p，则最长边为 ，且较长两边的和为
，请用含有n的式子表示p= ，则用含有p的式子表示n= 。
※最短边为偶数的考题：
观察下列各组勾股数：“4、3、5”；“6、8、10”；“8、15、17”；“10、24、26”……，若设
最短边为n，第二边为p，则最长边为 ，且较长两边的和为
，请用含有n的式子表示p= ，则用含有p的式子表示n= 。
※利用“平方差公式”探究规律：
阅读：若直角三角形的一条直角边长为11，另外两边长为整数a、b（a＞b），则有a2－
b2=121，即（a+b）（a－b）=121×1，因此[pic]，得a=61，b=60。
则一条直角边长为13的直角三角形周长为 。
§18．1 勾股定理的逆定理
◆考点1．判断是否构成直角三角形
考题：以下列长度为三边构成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
考题：已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a＋b＝4，ab＝1，c＝[pic]，试判定△ABC的形
状。
考题：一条边长为7，两条对角线长分别为4和[pic]的平
行四边形 菱形（填“是”或“不是” ）。
考题：如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=12，
CD=13，则四边形ABCD的面积为 。◆考点2．判断两直线是否垂直
考题：如图，正方形ABCD边长为4，点F为边DC的中点，
E为边BC上一点，且EC= [pic]BC，求证：AF⊥EF。◆考点3．“阅读理解类问题”
考题：△ABC的三边分别为a、b、c，且满足关系：[pic]，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定
考题：△ABC三边a、b、c满足:a2c2－b2c2＝a4－b4，试判定△ABC的形状。
解：由原式得： c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2），……①
两边同除（a2－b2）得, c2＝a2＋b2，……②
因此△ABC是直角三角形。……③
同学们认为这个解法有问题吗？ （填“有”或“没有” ）。若有问题，错在第
步，并请你写出正确解法：附1：“勾股定理”巧解面积和差问题
★要点简述:
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90o，分别以
AB、BC、CA为边向外作正方形，面积分别为
S1、S2、S3，由于S1=AB2，S2=BC2，S>>收起