圆基本性质
1、圆的定义
(1)圆的定义
点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为
半径．
　　(2)弦与直径
　　①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．
　　②直径：经过圆心弦，称为直径．（注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定
是直径．）
　　(3)弧、优弧、劣弧、半圆
　　①弧：圆上任意两点问的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．
　　②半圆．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
　　③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．
2、圆的对称性
　　圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
　　注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．
3、垂径定理及推理
　　定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．
4、圆心角
　　圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5、圆心角、弧、弦之间的关系
　　定理：在同圆或等圆中，相等的...点击查看全部>> 圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么
它们所对的其余各组量分别相等．
　　注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等
弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．
　　(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，
但所对的弧、弦不一定相等．
　　(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．
　　(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．
6、圆周角
　(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．
　(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半．
　　推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
二、重难点知识归纳
重点：垂径定理、三组量之间的关系、圆周角定理．
难点：以上定理的综合应用．
三、典例剖析
例1、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB=2DE，∠E=1
8°．求∠AOC的度数．
[pic]
例2、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．
[pic]
例3、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC距离为6cm，圆的半径为10cm．求腰AB的长
．
[pic]
　　
例4、要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10m
m的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h=8mm(如图)，求此小孔的直
径d．
[pic]
例5、已知，如图，AD=BC．求证：AB=CD．
[pic]
例6、已知：如图，A点是半圆上一个三等份点，B点是[pic]的中点，P是直径MN上一动点
，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值是多少？
[pic]
例7、如图，半圆O的直径是AB，CF⊥AB，弦AC的垂直平分线交CF于点D，连结AD并延长AD
交半圆O于点E，[pic]相等吗？请证明你的结论．
[pic]
例8、如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：[pic]．[pic]
例9、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙
O于点E，连结DE．求证：DE=AB．
[pic]
课堂练习与作业： 圆：
1、已知，⊙O的半径为3cm，P是⊙O内一点，OP=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是____
__cm，最大距离是_________cm．
2、如图，已知OA、OB是圆的两条半径，∠OAB=45°，OA=8cm，则AB=__________．
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则∠AC
D=__________．
4、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，分别以A、B为圆心，AC、BC为半径画弧，
交斜边于E、F，则EF的长是__________．
 
[pic]图2[pic]图3[pic]图4[pic]图6
5、平面直角坐标系中有一个点M（2，3），⊙M的半径为r，若⊙M上的点不全在第一象限内
，则r的取值范围是（　）
A．r=2　　　　　　B．r=3　　　　　　C．r≥2　　　　　　D．r≥3
6、如图，点C在以AB为直径的半圆上，O是圆心，连接OC，则△ABC是（　）
A．锐角三角形　　　B．钝角三角形 C．直角三角形　　　D．不能确定
7、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO为矩形，设BC=a，EF=b，
NH=c，则下列各式正确的是（　）
[pic] A．a＞b＞c　　　B．a=b=c C．c＞a＞b　　　D．b＞c＞a
8、如图，BD、CE分别是△ABC的两条高，试说明点E、B、C、D四点在同一个圆上，并画出
这个圆．
[pic]
9、如图所示，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3千米内的水域为危险区域
．有一渔船误入与A距离2千米的B处．为了尽快驶离危险区域，该船应怎样航行？并说明
理由．
[pic]
垂径定理：
1、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是__________．
2、如图，水平铺设的圆柱形排水管的截面半径是0.5m，其中水面宽为AB=0.6m，则水的
最大深度为_____m．
3、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP、
PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=__________．
4、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（
　）[pic]
5、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（　）
A．7cm　　　　　B．17cm　　　　　　C．12cm　　　　D．7cm或17cm[pic]图1[pic]图2[pic]图3[pic]图4[pic]图6
5、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（　）
A．7cm　　　　　B．17cm　　　　　　C．12cm　　　　D．7cm或17cm
6、如图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C
作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P
（　）
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分[pic]
D．随点C的移动而移动
7、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．
[pic]
8、离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区
，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄>>收起