28.2解直角三角形
【探究目标】
1．目的与要求
能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．知识[pic]与技能[pic]
能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用[pic]解直
角三角形的知识解决有关的实际问题．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，激励学生多接触社
会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．
【探究指导】
教学宫殿
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：
[pic]
角角关系：[pic]两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；边边关系：勾股定理，即[pic]；
边角关系：锐角三角函数，即
[pic]
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角...点击查看全部>> /> 边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角
)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条
边．
用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
[pic]
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事
物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，
也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再
求解．
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有
效数字，角度精确到1′．
例1 在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)c＝10，∠B＝45°，求a，b，∠A；
(2)[pic]，求c，∠A，∠B
思路与技巧
求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求a或b，也可以先求∠A，依据都是直角三
角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，
尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．
解答 (1)∠A＝90°-45°＝45°
[pic]
[pic]
(2)[pic]
[pic]所以[pic]
[pic]
例2
如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，[pic]，[pic],求AC，AB，∠A，∠[pic]B(精确到1′)．
[pic]
思路与技巧
在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△[pic]
BCD中，因此可先解这个直角三角形．
解答 在Rt△BCD中
[pic]
[pic]
用计算器求得 ∠B＝54°44′
于是∠A＝90°-∠B＝35°16′
在Rt△ABC中，
[pic]
例3
气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处，正在向正西北方向转移，距台风中
心300km的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响?
思路与技巧
如图19—48，就是要求出A到台风移动路线BC的距离是否大于300km，Rt△ABC中，∠ACB＝9
0°，∠ABC＝45°，AB＝400km，是AC可求．21世纪教育网
[pic]
解答 在Rt△ABC中，
由于[pic]
所以AC＝AB·sin∠ABC＝400×sin45°21世纪教育网
[pic]
所以港口A将受到这次台风的影响．
例4
如图，两幢建筑物的水平距离为56．5m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部
的俯角是42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°，求这两幢建筑物
的高度(精确到0．1m)．
[pic]
思路与技巧
如图，AB、CD表示两[pic]幢建筑物，AB[pic]⊥BD，CD⊥B[pic]D，BD＝56．5m，根据俯角
、仰角的意义，∠DAE＝42°，∠ACF＝22°，于是Rt△ABD、Rt△ACF都可解．
解答 在Rt△ABD中，
∠ADB＝∠DAE＝42°
BD＝56.5(m)
AB＝BD·tan[pic]∠ADB
＝56.5×tan42°
≈50.9(m)
在Rt△ACF中，
AF＝CF·tan∠ACF
=56.5×tan[pic]22°
≈22.8(m)
所以CD＝AB-AF
＝28.1(m)
答：两幢建筑物的高度分别为50.9m，28.1m
例5
如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：2．5，已知坝
高6m，坝长50m求：
(1)加宽部分横断面AFEB的面积；
(2)完成这一工程需要多少土方?
[pic]
思路与技巧
只须求出梯形AFEB的下底EB的长，作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，根据坡度的意义
，可以求出坡AB、坡EF的水平长度．
解答 (1)作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，由题意得
HG＝AF＝2(m)．AG＝FH＝6(m)
在Rt△ABG中，因为
[pic]
所以BG＝2×6＝12(m)
在Rt△FEH中，因为[来源:21世纪教育网
[pic]
所以EH＝2．5×6＝15(m)
所以EB＝EH+HG-BG＝15+2-12＝5(m)
所以[pic]
[pic]
答：加宽部分横断面AFEB的面积为[pic]，完成这一工程需要[pic]1050方土．
例6
海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航
行，[pic]乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会不会相撞?为什么?
思路与技巧
根据题意画出图形，如图19—51，可知甲、乙两船的路线可能会成为直角三角形中60°所
对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果正好等于60°的正
弦就会相撞，否则不会．
[pic]
解答
如图，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海>>收起