第二十七章《相似》复习讲练
专题一：图形的相似
知识要点：
1、两个图形相似，其中一个图形可以看作把另一个图形放大或缩小得到；2、相似多
边形对应角相等，对应边的比相等．反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边
的比相等，那么这两个多边形相似．相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1时
，两个图形全等．
典例例题分析：
例1如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果[pic]，那么称线段AB被点C黄金
分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（ ）．
A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic]
分析：根据比例的性质有AC2=AB·BC，而BC=AB-AC，故AC2=AB·（AB-
AC），此时把等式看作关于AC的一元二次方程，通过解此方程即可找出AC与AB的比例关
系．
解：∵AC：AB=BC：AC，∴AC2=AB·BC．
又∵BC=AB-AC，∴AC2=AB·（AB-AC），即AC2+AB·AC-AB2=0．
解之得[pic]（负数舍去），∴[pic]．...点击查看全部>>
说明：黄金比值是一个重要的概念，在日常生活中有广泛的实用价值，同学们应牢记
．
例2（2007·宁波）如图2，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，
已知AB=4．（1）求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．分析：（1）根据图形相似对应边的比相等性质列比例式解答即可；（2）求图形的相似
比即求多边形对应边之比．
解：（1）由已知，得MN=AB，MD=[pic][pic]AD=[pic]BC．
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴[pic]
∴[pic]AD2=AB2， ∴由AB=4得，AD=4[pic]．
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为[pic]．说明：本题主要考查利用相似多边形对应边的比相等性质求边长或相似比等问题．
专题训练（一）：
1．在下列四组图形中，不相似的有　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　A．1组　　　B．2组　　　C．3组　　　D．4组
[pic]
　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若如图4所示的两个四边形相似，则[pic]的度数是（ ）．
A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic]
3．将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，
则原矩形的长和宽的比应为（ ）．
A．2：1 B．[pic] C．[pic] D．1：1 专题二：相似三角形的判定
知识要点：1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角
形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果
两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；4、
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 典例例题分析：
例1如图1，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△A
BE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB；（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，若不相
似请说明理由．
分析：（1）根据折叠性质知△PBE、△QAB和△ABE都是直角三角形，利用直角三角形两锐角
互余性质，从角度入手可证△PBE∽△QAB；（2）由∠EPB=∠EBA=90°，可考虑证明两直角夹边
的比是否相等，来判断△PBE和△BAE是否相似．
解：（1）证明：∵∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+∠PEB=90°，∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，∴△PBE∽△QAB．
（2）∵△PBE∽△QAB，∴[pic]．
∵BQ=PB，∴[pic]，即[pic]．
又∵∠EPB=∠EBA=90°，∴△P[pic]BE∽△BAE．
说明：根据题目提供条件，正确选择相似三角形的判定方法是解题难点．通常是已知
一组对应角（或公共角）相等，再找一组角相等即可；如果另一组对[pic]应角无法找到
，应考虑找相等角（公共角）的夹边的比相等．若已知条件中未告诉任何有关角的关系
问题，则应从三边的比考虑相似．
例2如图2，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4．
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与
△DEF[pic][pic]分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．分析：（1）根据已知条件可用“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹
角相等，那么这两个三角形相似”进行判断；（2）可从角度入手对两个三角形进行分割
．
解：（1）不相似．[pic]在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∵∠D=90°，DE=3，DF=2，
[pic]．[pic]．
∴Rt△BAC与Rt△EDF不相似．
（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
作[pic]法：作∠BAM= ∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．
由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN．
∵∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E=∠NDE，∴∠AMC=∠FND．
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，
∴∠FDN=∠C，∴△AMC∽△FND．说明：本题分割相似图形应紧扣相似三角形的判定方法，考虑两个[pic]直角三角形的两
锐角互余的关系，应从角度入手进行动手分割操作．
专题训练（二）：
1．在△ABC中，AB=6，AC=8，在中，DE=4，DF=3，要△ABC使与△DEF相似，需添加的一个条
件是 （写出一种情况即可）．
2．如图3，已知△ABC中，D是AC上一点，以AD为一边，作∠ADE，使∠ADE的另一边与AB相交
于点E，且△ADE∽△ABC，其中AD的对应边为AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法和证明）
3．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°，如图4
，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求
AE
的长．
专题三：相似三角形的性质
知识梳理：1、相似三角形对应高（中线、角平分线）的比等于相似比；相似三角形
周长的比等于相[pic]似比；相似多边形周[pic]长的比等于相似比；2、相似三角形面积
的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方．
典例例题分析：
例如图1，在△ABC中，AB=5，BC=3，A>>收起