达标训练
基础•巩固
1.在Rt△ABC中，如果[pic]各边长[pic]度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值(
)
A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定
思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大
小不变.
答案：A
2.已知α是锐角，且cosα=[pic]，则sinα=( )
A.[pic] B.[pic] C.[pic]
D.[pic]
思路解析：由cosα=[pic]，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为
3k，则sinα=[pic].
答案：C
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶[pic]，则cosA=_______，tanA=_________.
思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=[pic]，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的
定义计算.
答案：[pic]，...点击查看全部>> [pic]
4.设α、β为锐角，若sinα=[pic]，则α=________；若tanβ=[pic]，则β=_________.
思路解析：要熟记特殊角的三角函数值
答案：60°,30°
5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________.
思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.
答案：0.386 0
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=[pic]，求AD、AC、BC.
思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠C
AD=tanB=[pic]，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解
.[pic]
[pic]
解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.
在Rt△ABC中，∵tanB=[pic]，∴AC=[pic]AB=[pic]k.∵BD=9,∴k=3.
所以AD=4×3=12，AC=[pic]×3=20.
根据勾股定理[pic].
综合•应用
7.已知α是锐角，且sinα=[pic]，则cos(90°-α)=( )
A.[pic] [pic] B.[pic] C.[pic]
D.[pic]
思路解析：方法1.运用三角[pic]函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从
而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°-
α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°-α)=[pic].
方法2.利用三角函数中互余角关系“[pic]sinα=cos(90°-α)”.
答案：A
8.若α为锐角，tana=3，求[pic]的值.
思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角
三角形三边之比为3∶1∶[pic]，sinα=[pic]，cosα=[pic]，分别代入所求式子中.
方法2.利用tanα=[pic]计算，因为cos[pic]α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.
答案：原式=[pic].
9.已知方程x2-5x·sinα+1=0的一个根为[pic]，且α为锐角，求tanα.
思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是[pic]，进而可求出sinα=[pic]
，然后利用前面介绍过的方法求tanα.
解：设方程的另一个根为x2，则([pic])x2=1
∴x2=[pic]
∴5sinα=([pic])+([pic])，解得sinα=[pic].
设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，
∴tanα=[pic].
10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1-
13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2
m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4 m.
[pic]
图28.1-13
(1)求滑梯AB的长(精[pic]确到0.1 m)；
(2)若规定滑梯的倾斜角([pic]∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯
的倾斜角是否要求？
思路解析：用勾股定理可以计算出AB的长，其倾斜角∠ABC可以用三角函数定义求出，看
是否在45°范围内.
解：(1)在Rt△ABC中，[pic]≈4.5.
答：滑梯的长约为4.5 m.
(2)∵tanB=[pic],∴∠ABC≈27°,
∠ABC≈27°＜45°.
所以这架滑梯的倾斜角符合要求.
11.四边形是不稳定的.如图28.1-
14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值
吗？
[pic]
图28.1-14
思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=[pic]，
再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.
解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，
由题意得，[pic]平行四边形的面积S=[pic]ab.
又因为S=ah=a(bsinα)，所以[pic]ab=absinα，即sinα=[pic].所以α=30°.
回顾•展望
12.(2010海南模拟) 三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3-
15所示，则sinα的值是( [pic] )
[pic]
图28.1-15
A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic]
思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.
答案：C
13.(2010陕西模拟) 如图28.1-
17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径[pic]，AC=2，则cosB的值
是( )
[pic]
图28.1-17
A.[pic] B.[pic] C.[pic]
D.[pic]
思路解析：利用∠B>>收起