适合：九年级人教“图形相似”
重视常见题，轻松应对中考题
我们每天要作大量的数学问题，而中考试题往往以原创或改编题出现。中考题大部
分都有其原始题目，而且重要知识点的考察也不变，只要善于发现总结，平常做题就可
以一顶百。现在举一[pic]例，以抛砖引玉。
题目：在锐角△ABC中，BC＝6,[pic]两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，
以MN为边向下作正方形MPQN。
求正方形的边长。 说明：大家对图1并不陌生吧，对于其题目也很熟悉哟。主要考察
相似三角形的性质——高的比等于相似比.易求高AH=4，△ABC∽△AMN
所以，[pic] =[pic],设正方形边长为X,则[pic]=[pic],解得X=2.4.
下面我们看中考试题怎么对这道题改编的：
一、操作探究，阅读证明例1（2008益阳）如图2，△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG
，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形....点击查看全部>>
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问
题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa.
小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，
从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2
，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理
化) . Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：
①在AB边上任取一点G’，如图3作正方形G’D’E’F’；
②连结BF’并延长交AC于F；
③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为
所求.
你认为小明的作法正确吗？说明理由.
解析：Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF(AAS)
Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
求得[pic]
　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得：[pic]
解之得：[pic](或[pic])
　　　　　　　
解法二：设正方形的边长为x，则[pic]
　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=[pic]，
∴[pic]
解之得：[pic](或[pic])
解法三：设正方形的边长为x，
则[pic]
由勾股定理得：[pic]
解之得：[pic]
Ⅱb.解： 正确
由已知可知，四边形GDEF为矩形
∵FE∥F’E’ ，
∴[pic]，
同理[pic]，
∴[pic]
又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF为正方形说明：本题主要考查相似、全等三角形等知识，以实际操作为背景，培养分析问题能力
。
二、运动变化，综合运用
例2（2008孝感）锐角[pic]中，[pic]，[pic]，两动点[pic]分别在边[pic]上滑动
，且[pic]，以[pic]为边向下作正方形[pic]，设其边长为[pic]，正方形[pic]与[pic]
公共部分的面积为[pic]．
（1）[pic]中边[pic]上高[pic] ；（2分）
（2）当[pic] 时，[pic]恰好落在边[pic]上（如图5）；（4分）
（3）当[pic]在[pic]外部时（如图6），求[pic]关于[pic]的函数关系式（注明[pic]的
取值范围），并求出[pic]为何值时[pic]最大，最大值是多少？（6分）
解析：（1）[pic]；
（2）[pic]（或[pic]）；
（3）设[pic]分别交[pic]于[pic]，则四边形[pic]为矩形．
设[pic]，[pic]交[pic]于[pic]（如图7）
[pic]，[pic]．
[pic]，
[pic]．
[pic]，即[pic]
[pic]．分
[pic][pic]
[pic]．
配方得：[pic]．
[pic]当[pic]时，[pic]有最大值，最大值是6．
说明：本题主要考查相似、二次函数（最值）知识。以动态为背景，从特殊到一般，
培养了综合运用能力。
有以上两例可以看出，有了常见题目做基础，对于综合（压轴）题，我们做起来便很
轻松。可见，多留意平常所做过的试题，达到会一题，通百题，对于考试的发挥会有很
大的帮助，缓解考试的压力。当然，这也需要我们平时多总结问题所考察的知识点。
巩固练习：
（
2009江津）锐角△ABC中，BC＝6,[pic]两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以
MN为边向下作矩形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y
＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ , 答案：[pic]
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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图1HDABCDEFG图2ABCDEFG图3G’F’E’D’ABCDEFG图4HAABBCCMMNNPPQQDD 图5 图6ABCMNPQD 图7GEF 图8
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