2011中考数学考前冲刺最后一讲------开放型问题解题指导 2011-6-8
一、课标下复习指南
传统的解答题和证明题，其条件和结论都是由题目明确给出的，我们的工作就是由因
导果或执果索因．而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，
要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论
证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答．开放性、操作性、探索性和综
合性是探究性问题的明显特征．这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本
技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实
的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性
品质．
二、例题分析
1．探究规律
对于探究规律的问题，需要认真审题，对题目提供的素材要进行观察、分析、综合，
既要从素材的单个元素(如某个式子、图形)的各部分观察其相互关系，也要从素材的一
系列元素(如一系列的式子、图形)之间观察其运动变化规律(如什么变化了，什么没有变
等等)．其中更多地用到归纳与类比的方法，把具体与抽象、静止与运动结合起来...点击查看全部>> ，先猜
想出结论，然后再从理论上加以证明．
例1
观察下列各式：，…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和?设n表示正整
数，用关于n的等式表示这个规律．
分析
所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整
数相等，因此得到规律：
(n为正整数)
这个规律是否正确呢?可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．请同学们自己完
成．
说明
对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系
，将规律用代数式表示出来．
对于所猜规律是否正确要有检验的意识，如在本题中把规律表示成
(n为正整数)就是错误的，这是由于n＝1时，用上式表示的等式不符合已知中的第
一项“1”这种情形．
例2
一根绳子，弯曲成如图27－1(a)所示的形状，当用剪刀像图(b)那样沿虚线a把绳子剪断
时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图(c)那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时，绳子被剪
为9段，当用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－2)次(剪刀的方向与a平行)，这样一共
剪n次时，绳子的段数是____________ (用含n的代数式表示)．

图27－1
分析
首先，在剪0次时，有1段绳子；其次，每剪一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增
加4段，剪n次之后绳子的段数多出4n段．
解答 4n＋1(n为正整数)．
说明
“图形规律”的探索问题，考查对图形的观察能力，以及将数学图形转化为数学语言的能
力，并将其表达为数学规律的能力．
例3
如图27－2，△ABC面积为1，第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1
B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1B1，B1C1，C1A1，得到△A1B1C1．

图27－2
第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B
1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2B2，B2C2，C2A2，得到△A2B2C2，…；按此规律，要使得到
三角形的面积超过2006，最少需经过______次操作．
分析
连接A1C，可以发现△A1BB1的面积是ABC面积的2倍；同理△B1CB1的面积、△A1AC1的面积都
是△ABC面积的2倍；所以△A1B1C1的面积是△ABC面积的7倍；按此规律△A2B2C2的面积是△A
1B1C1面积的7倍．
解 4．
说明
本题是“操作规律”探索问题，这类问题的难点在于有一种趋向于无穷的状态，使得学生
产生畏难情绪，所以首先要克服这种心理状态，其次要在抓好始状态下的数理关系上下
功夫，从中挖掘并找到规律．
2．探究条件
探求条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的一类题目．解
答探求条件型问题的思路是，从所给结论出发，谖想出合乎要求的一些条件，逐一列出
，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件．
例4 如图27－3，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．

图27－3
(1)若__________________________________________________，则△DEC≌△BFA(请你
填上能使结论成立的一个条件)；
(2)证明你的结论．
解 (1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)
(2)以AE＝CF为例．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．
又∵AE＝CF．∴AC－AE＝AC－CF．∴AF＝CE，∴△DEC≌△BAF．
说明
这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发
，执果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件
一一列出，逐个分析考察．
例5 在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2，2)．
(1)若底边BC在x蚰上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：____________；设点
B，点C的坐标分别为(m，0)，(n，0)，你认为m，n应满足怎样的条件?
(2)若底边BC的两个端嬴分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标
：________________________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(0，n)，你认为m，n
应满足怎样的条件?
分析
可以通过等腰三角形的作法来探求符合题意的条件：由于AB＝AC，故点B和点C在以A为圆
心的同一个圆上．(1)如图27－4(a)，作AE⊥x轴于E，以大于AE的长度为半径画弧，与x轴
的交点即为符合题意的点B和点C．易知E(2，0)为线段BC的中点，故CE＝EB，即n－2＝2
－m；(2)类似于(1)作⊙A，与两条坐标轴分别交于B1，B2，C1，C2，显然当A，B，C三点
不共线时这样确定的点B，C均符合题意．

图27－4
解 (1)如：点B(0，0)，点C(4，0)；m＋n＝4且m≠n．
(2)如：点B(1，0)，点C(0，1)，或点B(3，0)，点C(0，1)；m＝n，且m，n不为0和4
；或m＋n＝4>>收起