2011年全国各地中考数学真题分类汇编
第45章 阅读理解型1. (2011江苏南京，28，11分)
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小
值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
1. 填写下表，画出函数的图象：
x |…… | | | |1 |2 |3 |4 |…… | |y |…… | | | | | | | |…… | |

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可
以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【答案】解：⑴①，，，2，，，．
函数的图象如图．

...点击查看全部>> ②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当
时函数的最小值为2．
③
=
=
=
当=0，即时，函数的最小值为2．
⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．
2. （2011江苏南通，27，12分）（本小题满分12分）
已知A(1，0)， B(0,－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a
(x－1)2＋k（a＞0），经过其中三个点.
1. 求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上；
2. 点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？
3. 求a和k的 值.
【答案】（1）证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0）得，
，解得a＝0，这与条件a＞0不符，
∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
（2）【法一】∵A、C、D三点共线（如下图），

∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：
①A、B、C；
②A、B、E；
③A、B、D；
④A、D、E；
⑤B、C、D；
⑥B、D、E.
将①、②、③、④四种情况（都含A点）的三点坐标分别代入y＝a
(x－1)2＋k（a＞0），解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解
.
所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
【法二】∵抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点为（1，k）
假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a
(x－1)2＋k（a＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中
的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与（1）矛盾，所以A点不可能在抛
物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
（3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B、C、D三点时，则
，解得
Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B、D、E三点时，同法可求：.
∴或.
3.
（2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与轴交于（，0）、（
，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点
，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点
，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点
的坐标，若不存在，请说明理由。

【答案】
（1）∵，∴，。
∴，。
又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点
的坐标代入，求得。
∴抛物线的解析式为。
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））
。
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴，。
∵，∴。
∴，∴，∴。
∴

。
∴当时，有最大值4。
此时，点的坐标为（2，0）。
（3）∵点（4，）在抛物线上，
∴当时，，
∴点的坐标是（4，）。
1. 如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴错误！链接无效。。
∴，。
2. 如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，
则平行四边形的对称中心为（，0）。
∴的坐标为（，4）。
把（，4）代入，得。
解得 。
，。
4.
（2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即
△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋
转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B
1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上
述两次旋转到达O2处）.
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆
弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧
与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和
.
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直
线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处
（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1
绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点
O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过
5次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？
请你解答上述两个问题.

【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段
弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴顶点O运动过程中经过的路程为
.

顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为
=1+π.
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为
.
问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O>>收起