一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的
数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求
解的方法叫做“分类讨论”法，请你依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
1.如图1，在中，∠°，,
的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，
过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，
所得的与梯形重叠部分的面积记为y.
（1）．用x表示∆ADE的面积;
（2）．求出﹤≤时y与x的函数关系式；
（3）．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；
（4）．当取何值时，的值最大？最大值是多少？
2．如图2，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，
和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作
，交于点，在中，设的长为，上的高为．
（1）请你用含的代数式表示．
（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的
点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最
大，最大值为多少？3、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A、D、
...点击查看全部>> E按逆时针方向），
（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC延长线相交于点E′，是否
存在点D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD与AE′的长，若不存在，请简要说明
理由．4、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线
段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=x+b交折线OAB于点E．
（1）请写出直线y=x+b中b的取值范围；
（2）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探
究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面
积；若改变，请说明理由．
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD，已知AB=6，BC=2
，∠DAB=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系，将等腰梯形A
BCD绕A点顺时针旋转90°得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应
点）（如图）．
（1）在直线DC上是否存在一点P，使△EFP为等腰三角形，若存在，写出P点的坐标，若不
存在，请说明理由；
（2）将等腰梯形ABCD沿x轴的正半轴平行移动，设移动后的OA=x（0＜x≤6），等腰梯形
ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式．6、如图1，平面上一点P从点M（，1）出发，沿射线OM方向以每秒1个单位长度的速
度作匀速运动，在运动过程中，以OP为对角线的矩形OAPB的边长OA:OB=1:
；过点O且垂直于射线OM的直线l与点P同时出发，且与点P沿相同方向、以相同的速
度运动。
⑴在点P运动过程中，试判断AB与y轴的位置关系，并说明理由。
⑵设点P与直线l都运动了t秒，求此时的矩形OAPB与直线l在运动过程中所扫过的区域的重
叠部分的面积S（用含t的代数式表示）。
答案：
1、解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴
即 3分
(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤ 时 6分
（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE=
∴DE边上的高AH=AH'=
由已知求得AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5
由△A'MN∽△A'DE知


∴ 9分
（4）在函数中
∵0﹤x≤5
∴当x=5时y最大为： 10分
在函数中
当时y最大为： 11分
∵﹤
∴当时，y最大为： 12分2．解：（1）


3分
（2）
的边上的高为，
当点落在四边形内或边上时，
=（0） 4分
当落在四边形外时，如下图，
设的边上的高为，
则





所以 6分
综上所述：当时，，取，
当时，，
取，

当时，最大， 8分
3、（1）由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE．第二
问分AD=AE（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合
、（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，、（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．三种情况讨论．
（2）存在，可证△ADC∽△AE′D，得到CD=AC=2．
解答：解：（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=
AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2 ，
所以AE=AC-CE=4-2 ．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以AE=DE= AC=1．（2）①存在（只有一种情况）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
所以 = ，又AD=DE′，所以CD=AC=2．
点评：考查相似三角形的判定和性质，相似三角形和全等三角形的转化．分情况讨论等
腰三角形的可能性．4、分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求
出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可
；②如果点E在AB>>收起