二元一次不等式表示平面区域教案1
　　教学目标
(1)帮助学生了解二元一次不等式Ax＋By＋C＞0，Ax＋By＋C＜0，表示直线Ax＋By
＋C＝0，一侧所有点组成的平面区域．理解把原点坐标代入进行判断的道理．
　　
(2)通过练习使学生能画出二元一次不等式组表示的平面区域，会把若干直线围成
的平面区域用二元一次不等式组表示．
　　 (3)进一步深化学生数形结合研究问题的意识和能力．
　　教学重点和难点
　　重点：二元一次不等式表示平面区域，二元一次不等式组表示平面区域．
　　难点：平面区域的判定和边界的处理．
　　教学过程设计
　　 (一)学生阅读课文，思考问题．
　　 (学生阅读课文P69—P71例1前)
　　阅读思考题：
　　 (1)二元一次方程x＋y－1＝0与点集{(x，y)|x＋y－1＝0}有怎样的关系．
　　
(2)二元一次不等式x＋y...点击查看全部>> －1＞0与点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是怎样的关系，它们在
坐标平面上表示什么？请你大胆猜想一下．
　　 (二)教师总结讲评
　　二元一次方程x＋y－1＝0有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面
上表示一个点，这些点的集合组成点集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐标平面上表
示一条直线．
　　以二元一次不等式x＋y－1＞0的解，为坐标的点，也拼成一个点集．如x＝3，
y＝2时，x＋y－1＞0，点(3，2)的坐标满足不等式x＋y－1＞0．(3，2)是二元一次
不等式x＋y－1＞0的解集中的一个元素．我们把二元一次不等式x＋y－1＞0的解为
坐标的点拼成的点集记为{(x，y)|x＋y－1＞0}．
　　请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？

　　同学们猜得对：x＋y－1＞0表示直线l：x＋y－1＝0右上方的所有点拼成的平
面区域．
　　事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线
x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0右下方
的平面区域内．
　　如(2，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线x＋y－1＝0
的右上方．
　　
(－1，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)点在直线x＋y－1＝0上
，(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＜0(－1，2)点在直线x＋y－1＝0的
左下方．
　　因之，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)x＋y－1＞0，成立．
　　对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0，成立．
　　下面对这一猜想进行一下推证．
　　在直线l：x＋y－1＝0上任取一点P(x0，y0)，过点P作平行于x轴的直线y＝y0
，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有x＞x0，y＝y0二式相加．
　　 x＋y＞x0＋y0
则x＋y－1＞x0＋y0－1P点在直线x＋y－1＝0上，x0＋y0－1＝0
　　∴x＋y－1＞0．
　　因为点P(x0，y0)是直线x＋y－1＝0上的任意一点，所以，对于直线x＋y－1＝
0的右上方的任意点(x，y)
　　 x＋y－1＞0都成立．
　　同理，对于直线x＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)．
　　 x＋y－1＜0都成立．
　　∴点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域．
　　点集{(x，y)|x＋y－1＜0}是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域．
　　一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋B
y＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域．
　　由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相
同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负
就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．当C≠0时，我们常把原点作为
这个特殊点去进行判断．
　　如：把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0．
　　说明
x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域．就是说不等式所表示的区
域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧．
　　如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的
点去进行判断．
　　提醒同学们注意，不等式Ax＋By＋C≥0，所表示的区域，应当理解为{(x，y)|
Ax＋By＋C＞0}U{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}．这个区域包括边界直线，应把边界直线
画为实线．
　　另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼．

　　 A为直线l右上方的平面区域．

　　 B为直线l左下方的平面区域．

　　 C为直线l左上方的平面区域．

　　 D为直线l右下方的平面区域．
　　 例1 画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域．

　　 解
先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6＝0－6＜0因．2x＋y－
6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域与原点在
直线2x＋y－6＝0的两侧，即直线2x＋y－6＝0的右上部分的平面区域．
　　学生课堂练习，课本练习题1．
　　 (1)x－y＋1＜0．

　　 (2)2x＋3y－6＞0．

　　 (3)2x＋5y－10≥0．
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