二元一次不等式表示的区域
　
　　前面，我们研究了二元一次方程和直线的关系，用同样的方法，也可以研究二
元一次不等式和以它的解为坐标的点的集合(图形)的关系．
　　含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式．
使不等式成立的未知数的值叫做它的解．
　　我们研究不等式
y＞2x＋1 (1)
　　的解，并把它在坐标平面上表示出来．
　　为了求(1)式的任何一个实数解，可任意选取x的一个实数值，例如x=1，把它
看作一次方程，这个方程的图形是平行于y轴的直线，它与直线l：y=2x＋1相交于
点A(1，3)(图1)．
　　在直线x=1上，点A上方的所有点，如B(1，4)、C(1，5)、…的坐标都满足不等
式(1)，它们都是(1)式的解．
　　
　　足不等式(1)，它们都不...点击查看全部>> 是(1)的解．

　　可见，以不等式(1)的解为坐标的所有点的集合
P=｛M｜y＞2x＋1｝
　　是直线l上方的半平面所有的点，也就是图1－24中阴影所表示的平面部分，但
不包括边界直线．这种情况，直线l在图中一般画成虚线．
　　以二元一次不等式的解为坐标的所有点的集合表示一个平面图形，我们把这个
图形叫做不等式表示的区域．
　　由上例知道，y＞2x＋1表示的区域是直线l上方的半平面；同理，容易求得y＜
2x＋1表示的区域是直线l下方的半平面；而y=2x＋1就是边界直线l．
　　一般地，y=kx＋b的直线把平面分成两个半平面，y＞kx＋b表示的区域是直线
上方的半平面；y＜kx＋b表示的区域是直线下方的半平面；直线y=kx＋b是两个半
平面的边界线．
　　 例1 画出不等式y≤－2x＋3表示的区域．
　　 解 不等式y≤2x＋3的解集是
　　 y=－2x＋3， (1)
　　 y＜－2x＋3 (2)
　　的解集的并集，所以它们表示的区域是由(1)、(2)的图形合成的．

　　因为(1)式的图形是直线l；(2)式的图形是直线l下方的半平面．所以已知不等
式表示的区域是直线l和它下方的半平面，也就是图2阴影部分并且包括直线．这种
情况，直线l在图中一般画成实线．
　　由上面的讨论容易想到，一般二元一次不等式
Ax＋By＋C＞0
　　表示的区域，一定是在直线Ax＋By＋C=0的某一侧．但要断定究竟是在哪一侧
，并不需要将不等式化为y的函数式，可以取直线Ax＋By＋C=0一侧的一点，将它的
坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是不等式表示的区域；如果不等
式不成立，那么直线的另一侧是不等式表示的区域．
　　除选点代入不等式的方法外，也可以用y的系数判断不等式表示的区域．如果
B＞0(或B＜0)，那么不等式Ax＋By＋C＞0所表示的区域是直线Ax＋By＋C=0的上(或
下)方的半平面；如果不等式写成Ax＋By＋C＜0的形式时，它表示的区域是直线下
(或上)方的半平面．想一想，如果B=0时，原不等式表示什么样的区域．
　　 例2 求不等式
x＋2y－10＜0 (1)
　　表示的区域，并画出图形．
　　 解 先画出直线l：x＋2y－10=0．

　　用选点代入不等式(1)的方法，例如将原点(0，0)的坐标代入(1)式，得－10＜
0，(1)式成立．所以坐标原点所在的半平面是不等式(1)表示的区域，即直线l下方
的半平面，如图3的阴影部分，但不包括直线l．
　　 例2 也可以用如下解法：
　　 解 用y的系数判断不等式(1)表示的区域．
　　∵ B=2＞0，
　　∴
x＋2y－10＜0表示的区域是直线x＋2y－10=0下方的半平面，但不包括直线．
　　 例3
某工厂有一批长为2.5米的条形钢材，要截成60厘米和42厘米两种规格的零件毛坯
，找出最佳的下料方案并计算材料的利用率．
　　 解
设每根钢材可截成60厘米长的毛坯x根和42厘米长的毛坯y根．按题意得不等式
0.6x＋0.42y≤2.5． (1)
　　在坐标纸上画出
　　 0.6x＋0.42y=2.5 (2)的直线．如图4．

　　因为要截得的两种毛坯数的和必须是正整数，所以以(1)的解为坐标的点一定
是第一象限内的网格的交点．
　　如果直线(2)上有网格的交点，那么按直线上网格交点的坐标(x，y)的值作为
下料方案，这时材料全被利用，因此这个方案就是最佳方案．但从图4中可以看出
，直线(2)不通过网格交点，在这种情况下，为了制订最佳下料方案，应该找靠近
直线(2)的网格交点．
　　当然不能在直线(2)的上方半平面内找网格交点．因为B=0.42＞0，上方半平面
内任何网格交点的坐标都使0.6x＋0.42y＞2.5，这时两种零件毛坯长度的和超过了
原钢材长，这是不合理的．
　　这样，下料范围只能限制在0.6x＋0.42y＜2.5表示的区域内．这个区域是直线
(2)下方的半平面．在直线(2)的下方半平面上找到最靠近直线的网格交点，得点M
(2，3)．
　　
x=2，y=3就是所求的解，按这样截取毛坯，材料尽管没有被完全利用，但废料最少
．
　　
　　答：把每根条钢截成2根60厘米长和3根42厘米长的零件毛坯是最佳的下料方案
．材料利用率为98.4％．
　　
　　

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