简单的线性规划例题讲解 例1．某工厂的一个车间生产某种产品，其中成本为每公斤27元，售价为每公斤50元
．在生产产品的同时，每公斤产品产生出0.3立方米的污水．污水有两种排放方式：其一
是输送到污水处理厂，经处理（假设污水处理率为85%）后排入河流；其二是直接排入河
流．若污水处理厂每小时最大处理能力是0.9立方米污水，处理成本是每立方米污水5元
；环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方米污水17.6元．根据环保要求该车间每
小时最多允许排入河流中的污水是0.225立方米．试问：该车间应选择怎样的生产与排污
方案，使其净收益最大．通过例题的解答学会分析线性规划的实际问题，列出相应的约
束条件和目标函数，并画出二元一次不等式表示的平面区域，数形结合，在可行域内找
到问题的解答．从而掌握解决线性规问题的方法和步骤．
思路与解：设出所需要的变量，由整体到部分分析与由部分到整体综合相结合，列出
用变量表示的约束的量及其用不等式表示的约束条件；列出用变量表示的目标函数解析
式．这是解决线性规划问题关键，是教学的重点．分析与解决问题的方法和步骤是：
（1）设出所需的变量．
设该车间生产的产品为每小时x公...点击查看全部>> 斤，直接排入河流的污水量为每小时y立方米，净收
入为每小时Z元．
（2）分别列出受约束的量，用变量表示，并综合为约束条件．
①污水处理厂处理污水量：（0.3x－y）m3/小时；
②排入河流水量＝处理厂剩余污水量度＋直接排入的污水量
＝[（0.3x－y）×（1－85%）＋y] m3/小时．
约束条件化简为
（3）列出构成目标函数的各量并得到目标函数．
净收收入Z＝销售收入—生产成本—污水处理成本—污水排放费用
＝50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15(0.3x－y)＋y]
＝20.708x－9.96y．
(4)作出约束条件表示的平角区域（如图7－4中四边形OABC）．即可行域．
（5）作出Z＝0时的直线l：20.708x－9.96y＝0，
并向右平秽至过可行域上的点B，且与原点距离最大，Z＝20.708x－9.96y取最大值． （6）解以B为交点的两条直线的方程组：
得交点坐标B（3.3，0.09）
（7）回答问题的解．
当该车间每小时生产3.3公斤产品，直接排入河流的污水为0.09m3时，净收入最大为
：
Zmax＝20.708×3.3－9.96×0.09＝67.44（元）．
说明：也可以先列目标函数再列约束条件．


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