平面区域问题
　　1 平面区域的确定
　　1．1 不等式的区域
　　我们把满足不等式F(x，y)＞0的点(x，y)的集合称为不等式F(x，y)＞0的区域
．对于不等式F(x，y)＞0，如果方程F(x，y)=0确定平面内一实曲线，则曲线把平
面分成若干个区域G1，G2，…．
　　在每一个区域内任取一点，坐标满足F(x，y)＞0的区域的并集，即为原不等式
的区域．
　　为方便起见，我们常选取一些简单的特殊点(如坐标原点等)来计算F(x，y)的
值．
　　例如，求x2＞2y2＋1的区域．
　　先画出x2=2y2＋1的曲线(图1)，然后用原点(0，0)代入原不等式，不能成立，
再取(2，0)代入原不等式，能成立．故x2＞2y2＋1所表示区域为双曲线“内部”(含
焦点部分)．

　　1．2 不等式组的区域
　　我们把同时满足若干个不等式的点的...点击查看全部>> 集合叫做这些不等式构成的不等式组的区
域．
　　不等式组的区域是不等式中每一个不等式区域的交集．为方便起见，我们也可
以通过用特殊点法求出每一个小区域内有关式子的符号，来判断不等式组的区域．
　　例如，求不等式(y－x＋1)(2x－y－3)＞0所表示的区域．
　　首先作出两直线y－x＋1=0与2x－y－3＝0的图象(图2)，它们将平面分成四个
部分．为确定(y－x＋1)(2x－y－3)＞0的区域，可以用两种方法．
　　
　　不等式y－x＋1＞0可化为y＞x－1，表示直线y－x＋1=0的“上方”；同样，2x－
y－3＞0表示直线2x－y－3=0的“下方”．所以不等式组(1)表示的区域为图2中的区
域Ⅰ，不等式组(2)表示区域Ⅲ．故本题所表示的区域为将Ⅰ、Ⅲ两部分合并而成的区
域．
　　方法2：分别在四个区域内选取特殊点，如区域Ⅰ内选点(4，4)，区域Ⅱ内选点
(0，0)，区域Ⅲ内选点(0，－2)，区域Ⅳ内选点(2，0)，分别代入检验，以确定符合
条件的区域范围．
　　对于含有复数的不等式组，可结合复数几何意义来确定平面区域．
　　
　　集合A={z||z－1|≤1}表示以(1，0)为圆心，以1为半径的圆内区域(含圆)，B
　　
　　图3中的阴影部分(含曲线和线段OA1，但不含线段OB)．
　　学生解题时，常将A∩B表示为第一象限内的弓形区域部分，而忽视了下半圆区
域的存在．
　　2 平面区域问题例举
　　2．1 平面区域的单纯性题型
　　这类问题是只需根据题意作出所要求的平面区域范围，便可直接求解的单纯性
问题．
　　例1 已知三个集合M，N，P，M＝{(x，y)| |x|＋|y|＜1}，N={(x，y)|
　　
　　求集合M，N，P三者的关系．
　　解 如图4，集合M表示四边形ABCD内部，集合N表示椭圆内区域，集合
　　
　　
　　解
作直线l1∶3x－2y－2＝0，l2∶x＋4y＋4=0；l3∶2x＋y－6＝0(图5)．在直角坐标平
面内画出满足不等式组的区域(如图5中三角形内区域)．此三角形区域内的整数点
为(2，1)，(1，0)，(2，0)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，即原不等式组的整
数解．
　　2．2 含参变量的平面区域问题
　　对于这类问题，可首先设法消去已知曲线方程中的变量，得到仅含参变量的方
程或不等式，再转化为2．1类问题求解．
　　
　　b所满足的条件，并求出点(a，b)的存在范围．
　　解
方程(1)与(2)的曲线是直线和椭圆在xoy坐标系中第一象限的部分(图6)．

　　方程组有两相异解，即曲线(1)，(2)在第一象限有两个不同的交点．以y=1－
x代入(2)中，得(a＋b)x2－2bx＋b－1=0．
　　Δ=4b2－4(a＋b)(b－1)＞0，即ab－a－b＜0．
　　
　　a，b所满足的条件是ab－a－b＜0(a＞1，b＞1)．
　　不等式(a－1)(b－1)＜1(a＞1，b＞1)表示位于双曲线(a－1)(b－1)=1的“外部
”且满足a＞1，b＞1的点所构成区域．图7中的阴影部分，就是点(a，b)的存在范围
．
　　例4
设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y=na＋b，n∈Z}，B={(x，y)|x＝m，y=3m2
＋15，m∈Z}，C={(x，y)|x2＋y2≤144}是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和
b，使
　　
　　(2)(a，b)∈C同时成立．(1985年高考试题)
　　解
A={(x，y)|x=n，y=na＋b，n∈Z}为直线y=ax＋b(其中a，b为参数)上横坐标取整数
的点，B={(x，y)|x=m，y=3m2＋15，m∈Z}为抛物线y=3x2+15
　　
　　Δ=a2＋12b－180≥0， (1)
　　为了进一步研究，可以在直角坐标系中画出不等式a2＋12b－180≥0的区域，再
　　

　　例5
已知方程x2＋px＋q＝0有两实数根α和β，且α2＋β2＝1，求p和q的范围．
　　解
建立直角坐标系，适合p2－4q≥0的p，q的值是图9中阴影部分(含曲线)的点的坐标
．因为α2＋β2=1，即(α＋β)2－2αβ=1．所以p2＝2q＋1．而适合等式p2=2q＋1的p和
q的值为抛物线p2＝2q＋1上点的坐标，由图9可知，所求p和q的范围即为抛物线p2
＝2q＋1上A，B两点间的一段弧上的点的坐标的集合．
　　
　　解此类问题时，要注意隐含条件的挖掘(如本题中α，β是二次方程两个实根，
即判别式“p2－4q≥0”)．忽视了此条件，可能会导致变量取值范围的扩大．
　　2．3 利用图形区域，求变量组合式的范围
　　
　　
　　
　　对于这类问题，可首先求出满足题设条>>收起