简单的线性规划教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.线性规划问题，线性规划的意义.
2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
3.线性规划问题的图解方法.
（二）能力训练要求
1.了解简单的线性规划问题.
2.了解线性规划的意义.
3.会用图解法解决简单的线性规划问题.
（三）德育渗透目标
让学生树立数形结合思想.
●教学重点
用图解法解决简单的线性规划问题.
●教学难点
准确求得线性规划问题的最优解.
●教学方法
讲练结合法
教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单
的线性规划问题.
●教具准备
多媒体课件（或幻灯片）
内容：课本P60图7—23
记作§7.4.2 A
过程：先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-
25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即...点击查看全部>> 三直线所围成的封闭区域）.再作
直线l0:2x+y=0.
然后，作一组与直线的平行的直线：
l:2x+y=t,t∈R
（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探讨一下如
何应用其解决一些问题.
Ⅱ.讲授新课
首先，请同学们来看这样一个问题.
设z=2x+y，式中变量x、y满足下列条件
求z的最大值和最小值.
分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面
区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.
(打出投影片§7.4.2 A)
［师］（结合投影片或借助多媒体课件）
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，z=2x+y=0.
点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.
作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.
可知，当t在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,
即t＞0.
而且，直线l往右平移时，t随之增大.
（引导学生一起观察此规律）
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的
直线l2所对应的t最大，以经过点B（1，1）的直线l1所对应的t最小.
所以：zmax=2×5+2=12,
zmin=2×1+3=3.
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关
于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=2x+y是欲达到最大值或最小值所
涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=2x+y又是关于x、y的一次解析
式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规
划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和
最小值的问题，即为线性规划问题.
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行
域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，
1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
Ⅲ.课堂练习
［师］请同学们结合课本P64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.
作一组与直线l0平行的直线
l:2x+y=t,t∈R.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2
，-1）的直线所对应的t最大.
所以zmax=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（
-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4
（二）1.预习内容：课本P61～64.
2.预习提纲：
怎样用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
●板书设计
|课 题 |
|有关概念 复习回顾 |
|约束条件 |
|二元一次不等式表示平面区域 |
|线性约束条件 |
|目标函数 |
|线性目标函数 例题讲解 课时小结 |
|线性规划问题 图解法解决线性规划 |
|问题的基本步骤 |
|可行域 |
|最优解 |

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