线性规划应用问题教案1
　　 教学目标
(1)帮助学生掌握用线性规划的方法解决一些简单的应用问题的基本思路和主要方
法．在应用中培养学生的分析能力，判断能力，作图能力，计算能力．同时通过对
线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解．
　　
(2)通过把简单的实际问题转化为数学问题的实践，逐步培养学生用数学的意识和
能力．
　　教学重点和难点
　　重点：用线性规划的方法解决一些简单的实际问题．解题的主要步骤和基本思
路．
　　难点：把实际问题转化为数学问题．具体说如何根据实际问题的条件，转化为
线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数．如何根据实际问
题的要求确定最优解．
　　教学过程设计
　　 (一)教师提出问题，与学生边议边讲边示范．
　　线性规划这种数学方法在人们的生产、生活活动中有着重要的作用．下面我们
通过两个简单的实际问题，...点击查看全部>> 来看一下，如何把实际问题转化为数学问题，然后用数
学方法去解决实际问题．把实际问题转化为数学问题是对同学的数学能力的考验，
有一定难度，大家在学习中要特别重视这种转化．
　　 例1
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，
煤4t；生产乙种产品1t，需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润
是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中，要求
消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲、乙两种产品应
各生产多少(精确到1t)，能使利润总额达到最大？
　　 分析
首先必须反复认真看题，把问题中的条件，结论，已知量，要求量彻底搞清，这样
才能顺利地把实际问题转化为数学问题．
　　这个问题的结论是：甲、乙两种产品各生产多少，利润总额最大．这里有三个
未知量，我们用符号表示出来．
　　设甲种产品生产xt，乙种产品生产yt，总利润为z元．
　　则 z＝600x＋1000y
　　这个问题是求z的最大值，而又提出一堆限制条件，即约束条件．因条件比较
多，容易混淆，我们把它们列为一张表，可以较明显地看清楚．

　　显然问题是在表中列出的限制条件下，求函数z＝600x＋1000y的最大值，是一
个线性规划问题．
　　 解 设甲种产品生产xt，乙种产品生产yt，利润总额为z元．
　　则 z＝600x＋1000y
　　这个函数中，对x、y是有限制的，其约束条件是：

　　作出可行域(如图)

　　作直线l0：600x＋1000y＝0 即l0：3x＋5y＝0
　　
　　
　　把直线l0向右上方平移至l1的位置，直线过M点与原点距离最大，z有最大值．
　　答：应生产甲种产品约12t，乙种产品约34t，能使利润总额达到最大．
　　 例2
要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的
小钢板的块数如下表所示．

　　今需要A、B、C三种规格的成品各15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可
得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
　　 分析 首先认真分析问题中的条件，已知量，未知量和结论．
　　这个问题的结论是：两种钢板各用多少张，既达到问题的限制条件，且所用钢
板的总数最少．这里有三个未知量，我们用符号表示出来．
　　设第一种钢板用x张，第二种钢板用y张，所用钢板总数为z，则z＝x＋y．
　　在截钢板时，提出一堆限制条件，即约束条件，已反映在给出的表中．我们可
把它用不等式组表示出来．
　　显然问题是在表中所列的限制条件下，求z＝x＋y的最小值，是一个线性规划
问题．
　　 解 设需截第一种钢板x张，需截第二种钢板y张，约束条件为：


　　目标函数 z＝x＋y，
　　作直线l0：x＋y＝0，
　　
　　
　　优解．这时A点所在的直线为x＋y＝11．
　　找一条与x＋y＝11平行而且离原点最近的直线x＋y＝12，在这条直线上的整点
有(0，12)，(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，(6，6)，(7，5)，(8
，4)，(9，3)，
　　
(10，2)，(11，1)，(12，0)等等．但在可行域内的整点只有B(3，9)和C(4，8)．
　　这样B(3，9)，C(4，8)是这个问题的最优解．
　　
　　答：符合要求的截法有两种：
　　第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；
　　第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．
　　 (二)教师指导学生课堂练习
　　课本练习题2
　　 解 设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，咖啡馆每天获利
z＝0.7x＋1.2y(元)
　　 x，y满足约束条件


　　在平面直角坐标系内作出可行域，作直线l：0.7x＋1.2y＝0，把直线l向右上
方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，此时，
z＝0.7x＋1.2y 取最大值，
　　
　　得点C的坐标为(200，240)，所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240
杯，获利最大．
　　 (三)小结
　　我们这里研究的简单的线性规划应用题属于两类：第一类：给定一定数量的人
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