运筹学的理论与实践
　
　　我们通过系统地考察一些线性规划问题来说明这些基本步骤．建立模型不仅是
一门科学，更主要的是一种艺术．这种艺术只有通过实践才能掌握．
　　 例1 多产品的生产组合问题
　　生产炊事用具需要两种资源——劳动力和原材料，某公司准备制订生产计划．公
司考虑生产三种不同的产品，生产管理部门提供的数据如下：

　　每天供应原材料200磅，每天可供使用的劳动力为150小时．建立线性规划模型
，为使总收益最大，求各种产品的日产量．
　　公式
　　第一步，确定决策变量．要求的未知变量是三个产品的日产量．用代数符号表
示它们：
xA——产品A的日产量
xB——产品B的日产量
...点击查看全部>> xC——产品C的日产量
　　第二步，确定约束条件．在这个问题中，约束条件是可用劳动力和原材料的限
制．产品A每单位需要7小时的劳动，产量为xA．因此，仅产品A对劳动力的需求是
7xA小时(设为线性关系)．类似地产品B和C分别需要劳动力3xB和6xC小时．总的劳
动力需求为7xA＋3xB＋6xC，这不能超过150小时，于是劳动力的约束条件为：
7xA＋3xB＋6xC≤150
　　同理，产品A需要原材料4xA磅，产品B需要4xB磅，产品C需要5xC磅，于是原材
料约束条件为：
4xA＋4xB＋5xC≤200
　　此外，我们还限制变量xA、xB、xC仅取非负值．这叫做非负约束条件，是变量
必须满足的条件．实际上，大多数线性规划问题对决策变量都有非负限制．可是，
一般形式的线性规划并不限于非负数值．后面，将讨论对没有符号限制的变量的处
理方法．
　　第三步，确定目标函数．本问题的目标是使整个销售利润最大．假设存在可销
售全部产品的理想市场，全部销售利润为：
Z=4xA＋2xB＋3xC
　　因此，这个生产组合问题的线性规划变成：
　　确定xA、xB、xC的值，使销售利润Z最大，
Z=4xA＋2xB＋3xC
　　满足约束条件
7xA＋3xB＋6xC≤150
4xA＋4xB＋5xC≤200
xA≥0，xB≥0，xC≥0
　　 例2 (操作训练问题)
　　某机床公司为机械工人举办操作训练班，每十名受训者中有一名可作为训练班
的教师．训练班为期一个月．从以往的经验得知，在每十名受训者中，仅有七人可
成功地完成训练(不成功者便退学)．
　　生产上需要输送经过训练的机械工人．在今后三个月里，公司需要机械工人数
是：
一月 100
二月 150
三月 200
　　公司四月份需要250名经过训练的机械工人，年初已有130名经过训练的机械工
人可供使用．每月的工资费用为：
　　一个受训者 400美元
　　一个经过训练的机械工人 700美元
　　 (机械加工或教学)
　　一个经过训练但空闲的机械工人 500美元
　　 (工会合同禁止解雇经过训练的机械工人)
　　建立线性规划问题，使雇佣费用和训练费用最小，并满足公司的生产需要．
　　公式
　　一个经过训练的机械工人每月要做下列事情中的一件：(1)生产，(2)教学，(
3)空闲．
　　由于从事生产的机械工人数量是固定的，所以决策变量(未知量)是每月从事教
学的人数和空闲人数．要确定的变量是：
　　 x1——一月份从事教学的机械工人
　　 x2——一月份空闲的机械工人
　　 x3——二月份从事教学的机械工人
　　 x4——二月份空闲的机械工人
　　 x5——三月份从事教学的机械工人
　　 x6——三月份空闲的机械工人
　　约束条件是每月要有足够的已受过训练的机械工人从事生产．下面的方程可满
足这点：
B
　　例如，一月份的约束条件变成
100＋x1＋x2=130
　　二月份已受训的工人总数就是一月份已受训工人数与那些刚完成训练的工人数
目之和．一月份，这个训练班有10x1名学员，但其中仅有7x1名学员能完成学业，
成为经过训练的机械工人．因此，二月份的约束条件变成：
150＋x3＋x4=130＋7x1
　　同理，三月份有：
200＋x5＋x6=130＋7x1＋7x3
　　由于公司四月份需要250名受训的机械工人，所以约束条件为：
130＋7x1＋7x3＋7x5=250
　　当然，所有变量都是非负的．
　　当从事生产的机械工人的费用为一常数时，就不必写在目标函数中了．有关的
费用包括训练班费用(学员和教师的费用)和空闲机械工人的费用．因此，目标函数
为：
MinZ=400(10x1＋10x3＋10x5)＋700(x1＋x3＋x5)＋500(x2＋x4＋x6)
　　于是这个线性规划问题变成：

　　
　　 例3 (广告宣传手段的选择)
　　一家广告公司想在电视、广播和杂志上做广告，其目的是尽可能多地招来顾客
．下面是市场调查结果：
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