第1讲 映射与函数的概念
一、映射
1.
映射的概念：设Ａ，Ｂ是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合Ａ中的
任何一个元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合
Ａ到集合Ｂ的映射，记作．
2.
象和原象：给定一个集合Ａ到Ｂ的映射，且，，如果元素和元素
对应，那么，我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原
象．
二、函数
1.
传统定义：如果在某变化过程中有两个变量，，并且对于在某个范
围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有惟一确定的值和它对
应，那么就是的函数，记为．
2. 近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射．
3.
函数的三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的
特殊的映射．
4. 函数的表示法：解析法、列表法、图象法．理解好函数概念还必须注意以下几点：
1. 函...点击查看全部>> 数是一种特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的数的集合．
2.
确定函数的映射是从定义域Ａ到值域Ｃ上的映射，允许Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的
象，但不允许Ｃ中的元素在Ａ中没有原象．
3. 两个函数只有当定义域、值域、对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
4.
函数的定义域、值域、对应法则统称为函数的三要素，其中对应法则是核心
，是使对应得以实现的方法和途径，是联系与的纽带．定义域是自变
量的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个函数的对应法则，由于定义
域不相同，函数的图像与性质一般也不相同．
5. 函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点，一些线段等．
6.
的含义与的含义不同．表示自变量时所得的函数值，它是一个常
量；是的函数，通常它是一个变量．

定义法
用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是
把握住定义的本质特征．
[例1]　已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y＝f(x)的图象与
直线x＝1的交点个数为(　　)
A．0个　 　B．1个　 　C．2个　 　D．0个或1个
解析：∵f(x)的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]
∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图象上
而点(1，f(1))又在直线x＝1上
∴直线x＝1与函数y＝f(x)的图象必有一个交点(1，f(1))
根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，
在其值域中有唯一确定的元素f(1)与之对应，故直线x＝1与y＝f(x)的图象有且只有一个
交点．选B.三、典型例题
题型一.映射与函数的概念
[例1]　判断下列各组中两个函数是否为同一函数．
解析：(1)函数的定义域、对应法则均相同，所以是同一函数．
(2)y＝ ＝x＋1，但x≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．(3)函数f(x)＝ ·的定义域为{x|x≥0}．而g(x)＝ 的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
(4)去掉绝对值号可知f(x)与g(x)是同一函数．
总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数
的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函
数当且仅当定义域和对应法则相同时为同一函数．练习：下列各组函数中，表示相同函数的是 （D）


例2、下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？
不，不
是，是
。是，不
（4），B=R f:x ，不，不
总结评述：欲判断对应f：A→B是否是从A到B的映射，必须做两点工作：①明确集合A、B中
的元素．②根据对应法则判断A中的每个元素是否在B中能找到惟一确定的对应元素．
例3（ 06年浙江卷）函数f:{1,2,3}→ {1,2,3}，满足f(f(x))=f(x),这样的函数个数（
D ）
A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
练习：都有
x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f共有（）个
A、22 B、15 C、50 D、27
解:分步为-
1,0,1找象,当x为偶数时,f(x)必为奇数,当x为奇数时,f(x)可奇可偶,所以当x=0时,f(x)
只取3,5中一个,当x=-
1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一个,由乘法原理知,这个的映射的个数共有5×5×2=50
题型二.求定义域
例4（1）求下列函数的定义域：的定义域．
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
（3）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域. 解：由函数解析式有意义，得

故函数的定义域是．
(2）由 ．
∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有，即
此时，，函数的定义域为（）；
(2)∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2.
∴函数y=f(log2x)中≤log2x≤2.即log2≤log2x≤log24,∴≤x≤4.
故函数f(log2x)的定义域为［，4］
练习：
题型三.实际问题中函数定义域的确定

四、作业：
1.求函数f(x)=的定义域.
解 由
∴-1＜x＜0.
∴函数f(x)= 的定义域为（-1,0）.
2．已知向量满足，且，
（１）求向量 （２）若映射，
1. 求映射下的原象；
2.
若将作点的坐标，问是否存在直线，使得直线上任一点在映射的
作用下，仍在直线上，若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由
．
解：（１）设则　∴　∴
（２）①∵，　∴　　∴原象是；
2. 假设存在，设其方程为
∴．∵点在直线上，∴　
即与表示同一直线
∴，∴直线存在，其方程为


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