一．课题：函数的解析式及定义域
二．教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能
将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及
其在实际中的应用．
三．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；
含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函
数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．
四．教学过程：
（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解．
（二）主要方法：
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方
程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析...点击查看全部>> 式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有
意义；
（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出．
（三）例题分析：
例1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则
（ ）
解法要点：，，
令且，故．
例2．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求．
解：（1）∵，
∴（或）．
（2）令（），则，∴，∴．
（3）设，
则，
∴，，∴．
（4） ①， 把①中的换成，得 ②，
①②得，∴．
注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数
法；第（4）题用方程组法．
例3．设函数，
（1）求函数的定义域；
（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说
明理由．
解：（1）由，解得 ①
当时，①不等式解集为；当时，①不等式解集为，
∴的定义域为．
（2）原函数即，
当，即时，函数既无最大值又无最小值；
当，即时，函数有最大值，但无最小值．
例4．《高考计划》考点8，智能训练15：已知函数是定义在上的周期函数
，周期，函数是奇函数．又知在上是一次函数，在上是二次
函数，且在时函数取得最小值．
①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式．
解：∵是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，
∴．
②当时，由题意可设，
由得，∴，
∴．
③∵是奇函数，∴，
又知在上是一次函数，∴可设，而，
∴，∴当时，，
从而当时，，故时，．
∴当时，有，∴．
当时，，∴
∴．
例5．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目
的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最
低限量时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费元；若用水量超过
时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付元的超
额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：
|月份 |用水量 |水费（元） |
|1 |9 |9 |
|2 |15 |19 |
|3 |22 |33 |
根据上表中的数据，求、、．
解：设每月用水量为，支付费用为元，则有
由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量
，于是就有，解之得，从而
再考虑一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设，将代入（2）
式，得，即，这与（3）矛盾．∴．
从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有，得．
故，，．
（四）巩固练习：
1．已知的定义域为，则的定义域为．
2．函数的定义域为．
五．课后作业：《高考计划》考点8，智能训练4，5，10，11，12，13．

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