§6.4 不等式解法举例(一)
教材：复习一元一次不等式
目的：1、理解|ax+b|＞c,|ax＋b|＜c,(c＞0)型不等式的概念，并掌握它们的解法；
2、了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的联系，掌握一元二
次不等式的解法。
3、进一步掌握|ax²+bx+c|＞k , |ax²+bx+c|＞k( k＞0)型不等式的解法。
过程：
一．例题示范：
例1、已知集合A＝｛x｜｜x｜＜1｝，B＝｛x｜｜5－2x｜＞5｝，则A∩B＝
。
解：由题意可知，集合A是不等式｜x｜＜1的解集，又
由｜x｜＜1 (－1＜x＜1有：A＝（－1，1）
同理，可求B＝（－∞，0）∪（5，＋∞）

所以A∩B＝｛x｜－1＜x＜0｝。
例2、已知集合A＝｛x｜｜x－1｜＜c,
c＞0｝，B＝｛x｜｜x－3｜＞4｝，且A∩B≠(，求c的范围。
解：由题意可知，集合A是不等式｜x－1｜＜c 的解
集，又 由｜x－1｜＜c （c＞0） (1－c＜x＜1＋...点击查看全部>> c有：A＝（1－c，1＋c），
同理，可求B＝（－∞，－1）∪（7，＋∞） 。
由上图可知，要A∩B≠(,即要有: 1－c＜－1 (c＞2
所以c的范围为c＞2 。
例3、已知集合A＝｛x｜x²－5x＋4≤0｝，B＝｛x｜x²－5x＋6≥0｝，则A∩B＝
。
解：由题意可知，集合A是不等式x²－5x＋4≤0 的解集，
又 其对应的二次函数f(x)= x²－5x＋4 的图象如下 (与x
轴的两个交点的横坐标为其对应的方程x²－5x＋4＝0
的两个根），要函数值不大于零，
即取图象在 x 轴上或 x 轴下方的部分所对应的 x
的取值范围，故集合A＝［1，4］；
同理可求B＝（－∞，2］∪［3，＋∞）。
所以有：A∩B＝｛x|1≤x≤2或3≤x≤4｝
二．要点总结：
1、 |ax+b|＞c (c＞0) ( ax+b＞c 或 ax+b＜－c
|ax+b|＜c (c＞0) ( －c ＜ax+b ＜ c
（还要根据 a 的取值进行讨论）。
2、ax²+bx+c ＞0 ( a＞0 ) 及ax²+bx+c ＜0 ( a＞0 )
的解集的情况。
设f(x)=ax²+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
|△＝b²－4ac| △＞0 | △＝0 | △＜0 |
|f(x)＞0的 |｛x|x＞x1或x＜x2｝ |｛x|x≠－b／2a｝ | R |
|解集 | | | |
|f(x)＜0的 |｛x| x1＜x＜x2｝ |( | ( |
|解集 | | | |
|y=f(x)的图| | | |
|象 | | | |
例4 解不等式|x²－5x＋5|＜1．
解：原不等式可化为－1＜x²－5x＋5＜1，即

解不等式①，得解集{x|1＜x＜4}．
解不等式②，得解集{x|x＜2，或x＞3}．
原不等式的解集是不等式①和不等式②的
解集的交集，即
{x|1＜x＜4}∩{x|x＜2，或x＞3}={x|1＜x＜2，或3＜x＜4}．
三．反馈练习
练习1、已知集合A＝｛x｜｜x－1｜＜1｝，B＝
｛x｜x(x－2) ＜0｝，则A∪B＝｛x｜0＜x＜2｝。
练习2、 若不等式ax²+bx+2＞0的解集为
｛x｜－1／2＜x＜1／3｝，则a＝－12　，b＝ －2 。
练习3、 (1998年高考题)设a≠b，解关于x 的不等式：
a²x+b²(1－x）≥［a x＋b（1－x）］²。
解：∴ a²x+b² (1－x)≥［a x＋b(1－x)］²
(a²x+b²－b²x ≥ a²x+b² (1－x) ² +2abx (1－x)
( (a²+b²－2ab) x² － (a²－b²+2b²－2ab) x ≤0
(（a－b) ² (x²－x) ≤0
又∵ a≠b，∴ （a－b) ² ＞ 0
故由（a－b) ² (x²－x) ≤0
( x²－x ≤0
( x (x－1) ≤0
见右图有:
所求不等式的解集为:
{x｜0 ≤x ≤1}
四．思考题:
已知集合A＝｛x｜｜x－(m＋1)²／2｜≤(m－1)²／2｝，
B＝｛x｜x²－3(x＋1)x + 2(3m+1)≤0，x∈R｝，若 A ( B，求实数m的取值范围。
分析：可解集合 A＝[2m , m²+1]
B＝｛x｜(x－2)[x －(3m+1)]≤0，x∈R｝
集合 B 的解集究竟是什么？
是［2，3m+1]还是［3m+1,2]?如何处理？
要A ( B，又如何处理？
五．课堂小结：
1、熟悉|ax+b|＞c,|ax＋b|＞c,(c＞0)型不等式的概念，并掌握它们的解法；
2、熟悉二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的联系，并能运用它们之间
的联系，数形结合，熟练一元二次不等式的解法。
3、借助数轴进行集合间的运算。
4、进一步掌握|ax²+bx+c|＞k , |ax²+bx+c|＞k( k＞0)型不等式的解法。
六．作业：P18 练习 第1,2题
P19 习题6.4 第1,2题


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－11x0511－c1+cx－17Oxyx1x2Oxyx＝－b／2aOxyyOx1
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