§7.1 直线的倾斜角和斜率
一、教学目标
(一)知识教学点
知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念
以及直线的斜率公式．
(二)能力训练点
通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直
线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识
转化、迁移能力．
(三)学科渗透点
分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想
．
二、教材分析
1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究
直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率
是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正
确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．
2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于
以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍...点击查看全部>> 就可以了．
3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？
三、活动设计
启发、思考、问答、讨论、练习．
四、教学过程
（一）.复习一次函数及其图象
在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+1的图象是什么？怎样画出它的图象？
已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，3)
和点B(2，1)是否在函数图象上．
初中我们是这样解答的：
∵A(1，3)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上．
∵B(2，1)的坐标不满足函数式，
∴点B不在函数图象上．
现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时
间让学生思考、体会．)
讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图
象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关
系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．
(二).直线的方程
引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的
图象吗？
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上
的点一一对应．
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是
这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直
线．
上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方
程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．
显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．
(三).进一步研究直线方程的必要性
通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决
，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过
直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．
(四).直线的倾斜角
一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图
1-
21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取
值范围是0°≤α＜180°．

直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线
向上的方向作为终边；(3)最小正角．
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．
(五).直线的斜率
倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表
示，即



直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．
|直线情况 |平行于x轴 |由左向右上升|垂直于x轴 |由右向左上升|
|Α的大小 | | | | |
|ｋ的范围 |k=0 |k>0 |不存在 |k<0 |
|ｋ的增减性 |无 |递增 |无 |递减 |
例2.判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα. （ ）
②直线的斜率值为tanβ，则它的倾斜角为β. （ ）
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率.（ ）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在.
（ ）
(六).过两点的直线的斜率公式
在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2
(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角
不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率
？

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：
α=∠QP1P2 (图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)



综上所述，我们得到经过点P1 (x1，y1)、P2 (x2，y2)两点的直线的斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率
不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由
直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．(七).例题
例3。求经过点A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。
解： ∴ α=135°
即直线的斜率为-1，倾斜角为135°.
例4。
已知直线l1和l2的斜率分别是和，求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关
系。
解:

由图可知 l1⊥ l2

答: l1⊥ l2
(八).课堂练习
（1）A（a，c），B（b，c）
（2）C（a，b），D（a，c）
（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）
(九).课后思考题：
证明A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点共线。
五.小结：
1. 正确理解直线方程与方程的直线概念>>收起