两条直线的平行与垂直
　
一、教学目标
(一)知识教学点
掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条
件确定两平行或垂直直线的方程系数．一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，
两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．
(二)能力训练点
通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力
以及学生的数形结合能力．通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层
深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力． (三)学科渗透点
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的
兴趣．训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．
二、教材分析
1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌
握，灵活运用．
2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查...点击查看全部>> 两直线的斜率的关系
问题．公式的记忆与应用．
3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注
意解决好这个问题．推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．
三、活动设计
提问、讨论、解答．
四、教学过程
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线
的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，
另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)斜率存在时两直线的平行与垂直
设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是
l1：　 y=k1x+b1；　 l2：　 y=k2x+b2．
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角
与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特
征．
我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-
29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．
∴tgα1=tgα2．
即　 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
∵两直线不重合，
∴l1∥l2．
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的
斜率相等，则它们平行，即
eq \x( )
要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提
，结论并不存立．
现在研究两条直线垂直的情形．
如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-
30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙
图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．





可以推出　 α1=90°+α2．
l1⊥l2．
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们
的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即


(三)例题
例1　 已知两条直线
l1：　 2x-4y+7=0，　 L2：　 x-2y+5=0．
求证：l1∥l2．
证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．
证明：把l1、l2的方程写成斜截式：


∴两直线不相交．

∵两直线不重合，
∴l1∥l2．
例2求过点　 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．



即　 2x+3y+10= 　0．
解法2　 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-
4)代入有m=10，故所求直线方程为
2x+3y+10=0．
例3　 已知两条直线
l1：　 2x-4y+7=0，　 l2：　 2x+y-5=0．
求证：l1⊥l2．


∴l1⊥l2．
例4　 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．
解法1　 已知直线的斜率k1=-2．
∵所求直线与已知直线垂直，

根据点斜式得所求直线的方程是

就是　 x-2y=0．
解法2　 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-
2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是
x-2y=0．
（四）两条直线的夹角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线
l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-
27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．
l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．
现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是

l1∶y=k1x+b1　 l2∶y=k2x+b2
如果1+k1k2=0，那么θ=90°，
下面研究1+k1k2≠0的情形．
由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入
手考虑问题．
设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-
32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到
l>>收起