简单线性规划
教学目标
　　使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
　　了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程
【引入新课】
　　我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平
面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
　　1．先分析一个具体的例子
　　我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程
的解为坐标的点的集合
是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两
个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式） 的解为坐标的点的集合
是什么图形呢？
　　在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；
③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们
发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它
们满足不等式 ，这些点却在l的左下方的平面区域．
　　由此我们猜想，对直线l右...点击查看全部>> 上方的任意点 成立；对直线l左下方的任意点
成立，下面我们证明这个事实．
　　在直线 上任取一点 ，过点P作垂直于y轴的直线
，在此直线上点P右侧的任意一点 ，都有     ∴ 
　　于是 
　　所以 
　　因为点 ，是L上的任意点，所以，对于直线 右上方的任意点 ，
都成立
　　同理，对于直线 左下方的任意点 ，
都成立
　　所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集点．

是直线 右上方的平面区域（如图）
　　类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集合
是直线 左下方的平面区域．
　　2．二元一次不等式 和 表示平面域．
　　（1）结论：二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线
某一侧所有点组成的平面区域．
　　把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式
就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
　　（2）判断方法：由于对在直线 同一侧的所有点 ，把它的坐标
代入
，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点
，以 的正负情况便可判断
表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当
时，常把原点作为此特殊点．
　　【应用举例】
　　例1  画出不等式 表示的平面区域
　　解；先画直线 （画线虚线）取原点（0，0），代入 ，
∴    ∴  原点在不等式 表示的平面区域内，不等式
表示的平面区域如图阴影部分．
　　例2  画出不等式组
　　
　　表示的平面区域
　　分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是
各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式 表示直线 上及右上方的平面区域， 表示直线
上及右上方的平面区域，
上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
例3　 某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10
t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t．每1
t甲种产品的利润是600元，每1
t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过30
0 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360
t．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t)，能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成下表：

解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么

z＝600x＋1000y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(图7－24)，即可行域．

作直线l：600x＋1000y＝0，即直线
l：3x＋5y＝0，
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大．
此时
z＝600x＋1000y
取最大值．
解方程组

得M的坐标为

答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大．
小结：
解决线形规划问题的一般步骤：
1. 设出所求的未知数
2. 建立线形约束条件
3. 得出线形目标函数
4. 作出可行域
5. 运用平移直线法得出最优解
6. 规范作答
注意事项：
画图要准确，直线斜率大小要准确，坐标单位长度要一致
作业
1. 阅读书本P60-62
2. P65 2，3题

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