课 题：7.5曲线和方程（二）
教学目的：
1．了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方
程，画出方程所表示的曲线
2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数
与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法
3．培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主
动参与、勇于探索、敢于创新的精神
教学重点：求曲线方程的方法、步骤．
教学难点：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教法分析：
第一课时概念强、思维量大、例题习题不多使用启发方法符合学生的认知规律
第二、第三课时规律性强，题目多，可结合实际灵活采用教学方法．在探索一般性解
题方法时，可采用发现法教学，在方法的应用及拓广时，可采用归纳法；在训练与反馈
部分，则主要采用讲练结合法进行
教学过程：
一、复习引入：
1．“曲线的方程”...点击查看全部>> 、“方程的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系
：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2．定义的理解：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的
方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充
分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研
究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法
二、讲解新课：
1. 坐标法
在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较
少，因为大家认识到二元方程的解都是不确定的对于这种“不定方程”，除了
有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛
卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把看成是未知数，而是
创造性地把看成是变量(从此，变量引入了数学)，让连续地变，则对每一个
确定的的值，一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的
萌芽) 然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C
由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系：曲线上每一个点的一对坐标都是方
程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上这就是说，曲线上的
点集和方程的实数解集具有一一对应的关系这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也
可以转化成对曲线的研究这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做
坐标法（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）
根据几何图形的特点，可以建立不同的坐标系最常用的坐标系是直角坐标系和极坐
标。在目前的中学阶段只采用了直角坐标系
2．解析几何的创立意义及其基本问题
在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何它是一门用
代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几
何的奠基人另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者他们创立解析几何，在数学
史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联
系起来了解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域
3．平面解析几何研究的主要问题
根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质
本节主要通过例题的形式学习第一个问题，即如何求曲线的方程小结时总结出求简单
的曲线方程的一般步骤
4．求简单的曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
三、讲解范例：选题意图：考查求轨迹方程的基本方法
例１、设Ａ、Ｂ两点的坐标是 (-1, -1)、(3,7),求线　 段ＡＢ的垂直平分线方程 .
解：设M（x,y）是
线段AB的垂直平分线上任意一点，也就是点M属于集合P={M||MA|=|MB|}由两点间距离公
式，点M所适合的条件
可表示为：
将上式两边平方，整理得 x+2y-7=0 （1）
证明：方程（1）是线段AB的垂直平分线的方程
1、由求解过程知，垂直平分线上点的坐标都是方程的解.
2、设(x1,y1)是方程（1）的解， x1+2y1-7=0 ，x1=7-2y1
点M到A、B的距离分别是|MA|= ，|MB|=
∴|MA|=|MB|，即M在线段AB的垂直平分线上
由(1)(2)知方程（1）是线段AB的垂直平分线的方程
例2 点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.
解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，设点M的坐
标为，点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合
P=｛Ｍ｜｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜｝，
其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足
因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件｜ＭＲ｜
＝｜ＭＱ｜可写成｜｜＝｜｜即±=0 ①
下面证明①是所求轨迹的方程
(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
(2) 设点的坐标是方程①的解，那么±＝０，即
｜｜＝｜｜，而｜｜、｜｜正是点到纵轴、横轴的距离，因
此点到这两条直线的距离相等，点是曲线上的点
由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示.
点评：建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单.所求方程的形式较“整齐”
例3 设A、B两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若，求动点M的轨迹方程
解：设M的坐标为，M属于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，点M所适合的条
件可表示为
，
整理后得 (≠±1)
下面证明 (x≠±1)是点M的轨迹方程
(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程 (x≠±1)的解；
(2)设点的坐标是方程 (x≠±1)的解，
即，

∴
由上述证明可知，方程 (x≠±1)是点M的轨迹方程
说明：所求的方程后面应加上条件ｘ≠±１ 例4
已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一个点到A（0，2）的距离减去它到轴
的距离的差都是2，求这条曲线的方程
分析：这条曲线是到A点的距离与其到轴的距离的差是2的点的集合或轨迹的一
部分
解：设点是曲线上任意一点，MB⊥轴，垂足是B，那么点M属于集合P={M｜
｜MA｜-｜MB｜=2}
即 =2
整理得 , ∴
因为曲线在轴的上>>收起