§8.2 椭圆的简单几何性质
一、教学目标
(一)知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，
并了解椭圆的一些实际应用．
(二)能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．
(三)学科渗透点
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关
系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．
二、教材分析
1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)
2．难点：椭圆离心率的概念的理解．
(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，)
3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐
标系的改变而改变．
(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)
三、活动设计
...点击查看全部>> 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．
四、教学过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？
2．椭圆的标准方程是什么？
3.椭圆中a,b,c的关系是？
学生口述，教师板书．
(二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究
椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不
随坐标系的改变而改变．
1．范围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-
18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．
2．对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．
设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-
y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-
x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-
x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．
同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意
两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于
y轴对称．
事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-
y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-
x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．
最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．
3．顶点

只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-
b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-
a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-
a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．
教师还需指出：
(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描
出较少的点，就可以得到较正确的图形．
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） （2）
4．离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．
先分析椭圆的离心率e的取值范围：
∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．|标准方程 | |
| |  |
|范围 | |x|≤ a,|y|≤ b |
|对称性 |关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对|
| |称 |
|顶点坐标 | (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) |
|焦点坐标 | (c,0)、(-c,0) |
|半轴长 |长半轴长为a,短半轴长为b. a>b |
|离心率 |  |
|a、b、c的关 | a²=b²+c² |
|系 | |
|标准方程 |  |  |
|范围 ||x|≤ a,|y|≤ b ||x|≤ b,|y|≤ a |
|对称性 |关于x轴、y轴成轴对称 | 同前 |
| |；关于原点成中心对称 | |
|顶点坐标 | (a,0)、(-a,0)、(0,b)| (b,0)、(-b,0)、(0,a) |
| |、(0,-b) |、(0,-a) |
|焦点坐标 | (c,0)、(-c,0) | (0 , c)、(0, -c) |
|半轴长 | 长半轴长为a,短半轴长| 同前 |
| |为b. a>b | |
|离心率 |  | 同前 |
|a、b、c的关系 |  a²=b²+c² >>收起