课 题：8．3双曲线及其标准方程（一）
教学目的：
1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；
2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；
3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；
4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）
；
5．培养学生发散思维的能力
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
  “双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一
类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生
活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握
本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教
学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法
双曲线的定义和标准方程是本节的基...点击查看全部>> 本知识，所以必须掌握而掌握好双曲线标准方
程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键
应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的
必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、
数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具
犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹双曲线和其方程分属于
几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起因
此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育
双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标
准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题
教学过程：
一、复习引入：
1椭圆定义：
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距
离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关
2.椭圆标准方程：
（1） （2） 其中
二、讲解新课：
1．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动
点的轨迹叫双曲线 即
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于” 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平
行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射
线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
2．双曲线的标准方程：
根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的
过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程过程如下：（1）建系设点
；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴
设P（）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2（）
则 ，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数），

，
，
化简，得：
，
由定义
令代入，得：，
两边同除得：，
此即为双曲线的标准方程
它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，
其中
若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在轴上，则焦点是
，将互换，得到
，此也是双曲线的标准方程
3．双曲线的标准方程的特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
(2)有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、
项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲
线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在
轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
三、讲解范例：
例1 判断下列方程是否表示双曲线.
① 方程
② 方程
表示以（０，４）为端点，沿着Ｙ轴
正方向一条射线。
例2:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上
一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线
的标准方程.
变题1:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离的差等于6,如何?差等于0,如何?
变题2:将条件改为双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于10,如何?
例3 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值
① ②
③ ④ （）
分析：双曲线标准方程的格式：平方差，项的系数是正的，那么焦点在轴
上，项的分母是；项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的
分母是
解：①是双曲线， ；
② 是双曲线， ；
③是双曲线， ；
④是双曲线，
例4
已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6
，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
(,)
∵ ∴ ∴
所求双曲线标准方程为
例5　 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声
的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值
解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，
因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中
点重合

设爆炸点P的坐标为，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即
2＝680，＝340．
又|AB|=800， ∴　 2c=800，c=400，＝44400
∵　 |PA|－|PB|＝680＞0，
∴　 ＞0
所求双曲线的方程为
（＞0）
例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所
在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C，利用B、
C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组
成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用
想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸
点应在线段AB的中垂线上）
点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非
常有利于强化学生“应用数>>收起