空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体．锥体．台体的表面积与体积（一）
一．温故探新
问题1：如何计算多面体的表面积？
1．写出下列图形的面积公式
边长为的正方形： ，长为宽为的矩形：
，边长为的正三角形： .
2．正方体、长方体的表面积公式
棱长为的正方体的表面积为______，
长、宽、高分别为的长方体的表面积为______________.巩固练习1
已知正四面体（各个面都是正三角形的四面体）的棱长为.
（1）求它的表面积；（2）求它的高.问题2：如何计算旋转的表面积？
1．如上图，圆柱的侧面展开图是一个
形，即圆柱的侧面积等于________的面积，且圆柱的表面积圆柱的
面积 面积.
设圆柱的底面半径为，母线长为，则 ，
.2．如右图，圆锥的侧面积展开图是
形，即圆锥的侧面积等于________的面积，且圆锥的表面积圆锥的
面积 面积.
设圆锥的底面半径为，母线长为，
则（熟记...点击查看全部>> ，以后证明），
　　　　 .３．如右图，圆台的侧面展开图示 形.
设圆台的上底半径为，下底半径为，母线长为，
则（熟记，以后证明）
　　　　 .
巩固练习2
如图，一个圆台形花盆盆口直径为，盆底直径为底部渗水圆孔直径为盆
壁长，为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用１００毫升油漆，涂１
００个这样的花盆需要多少油漆？（取３.１４，结果精确到１毫升，可用计算器
）二．理解应用
题组3：
1．若圆台的上下底面半径分别为1和3，它们侧面积是两底面面积的
2倍，则圆台的切线场是（ ）

2．如果某个圆柱的底面面积为侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积
是（ ）

题组4：如果某个圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的_____倍.
三．拓展提高
一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为的内接圆，求：
（1）试用表示圆柱的侧面积；
（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大？四．课外作业
1．若圆柱的侧面展开图示一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比是（ ）

2．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为，中截面把圆台分为上．下两个圆台
，它们的侧面积之比为1：2，那么 （ ）

3．若圆锥的侧面展开图是原圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的全面积
与侧面积之比是（ ）

*4．某个圆台的母线长，母线与轴的夹角为，上底半径为，求圆台的高
和侧面积.
*5．某个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面的半径也相等，
求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）
一．温故探新
问题1：还记得圆柱、圆锥、圆台和圆柱的侧面积公式吗？
， ，巩固练习1
1．若圆柱的侧面展开图是一个边长为和的矩形，则这个圆柱的全面积为（
）


2．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其侧面积，那么它的高等于______.问题2：柱体、锥体、台体的体积公式是否也有与圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式相类似
的关系？
已知，若 ，则 ，
若 ，则 .
巩固练习2
1. 将边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面，那么所成的圆柱的体
积为（ ）

2. 一个正方形和一个圆柱等高，且侧面积相等，则正方形和圆柱的
体积比为________.二．理解应用
题组3：有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重，已知底面是正
六边形，边长为，内孔直径，问这堆螺帽大约有多少个（，可用计算器
）
题组4
若正三棱台的两底面边长分别为2、8，侧棱长等于6，计算三棱台的体积.三．拓展提高
下图是一个几何体的三视图（单位：），画出它的直观图，并求出她的表面积和体
积.四．课外作业
1．若干毫升水倒入底面半径为的圆柱形器皿中，量得水面高度为，若将这些
水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（　　）

2．如右图，将一个长方体沿相邻的三个面的对角线
截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体体积
的比为________.
3．如图，一个三棱柱容器中盛有水，且
侧棱.若侧面水平放置
时，液面恰好过
的中点，当底面水平放置时，
液面高为_______.
*4．设正方体的棱长为１，求三棱锥的高.
*5．求底面边长为，侧棱长为的正三棱锥的表面积与体积.
§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
一．温故探新
问题1：球的表面积与体积公式有什么关系？
1．半径为的圆的周长 ，面积 .
2．半径为的球的表面积，体积
巩固练习1
1．若某球的体积与其表面积的数值相等，则此球的半径为______.
2．如果一个球的表面积比原来的扩大3倍，那么此球的体积比原来的扩大______倍.问题2：长方体与它的外接球之间有什么关系?
1．长方体的一个顶点的三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上
，求这个球的表面积和体积.
巩固练习2
1．正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则此球的表面积是
，体积是 .
2．长方体共顶点的三个侧面面积分别为，求它的外接球的表面积.二．理解应用
题组3：
1．一个球的外切正方体的全面积等于6，则此球的体积为______.
2．如果球的表面积为，那么它的内接正方体与外切正方体的边长比为________.题组4：
在球面上有四个点，若两两互相垂直，且，求这个球的表面积和体积.三．拓展提高
一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.
四．课外作业
1．已知某个球的外切圆台上、下底面半径分别为，那么这个球的半径为
.
2．圆柱体容器的内壁底面半径为5，两个直径是5的玻璃小球浸没于容器的水
中若同时取出两个球，则容器中的水面将下降（ ）

3．在球心同侧有相距的来那个平行截面，他们的面积分别为和，求这
个球的表面积.
*4．一个半球体内有一个内接圆柱，圆柱的一个底面在半球的球面上，另一个底面在球
面上，球的半径为，求圆柱的侧面积的最大值.
*5．半球内有一个内接正方体，求这个半球的全面积与正方体的全面积之比.


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