“充分条件”、“必要条件”辨析
　　“充要条件”是重要的数学概念，既是教学重点，也是学习难点，实际应用中常
常混淆“充分条件”、“必要条件”这两个不同的概念．以下从四个方面帮助学生辨析
．
　　一、“充分条件”之“充分”是足够的意思
　　
　　
　　＝0”．因此，“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的充分条件．换句话说，要使“x2－2x
－3=0”成立，有“x=3”这个条件就足够了．同理，“x=－1”也是“x2－2x－3=0”的充
分条件．再如“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件，“α=2kπ＋β(k∈Z)”也是“sinα=sinβ
”的充分条件．这就告诉我们，“充分条件”不唯一，但它们都是使“结论”成立的条
件．就好比“一元钱”是购买“一张平信邮票”的充分条件一样，足够就行．“|x|=5”
不是“x－5=0”的充分条件(|x|=5时，x可能是－5，这样|x|=5不足以使x－5=0成立
)．
　　二、“必要条件”之“必...点击查看全部>> 要”含有必不可少之意
　　
　　
　　要条件．
　　我们何以能把“x2－2x－3=0”这个由“x=3”推出的必然结果,称之为“x
　　
　　中，如果二次三项式x2－2x－3不等于零，那么x就不能是3．因此，“x2－2x－
3=0”是“x=3”的必不可少的条件，即必要条件．再如定理“若四边形为正方形，则其
四边相等”中，“四边相等”是“四边形为正方形”必不可少的条件(否则，不是四边相
等的四边形，一定不是正方形)，即必要条件．这就好比人家告诉你：“你要买的书
是红皮的，”那么，你在书店里就会选择，凡不是红皮书，就不是我要买的书．由
此可见，“必要条件”确具有“必不可少”的含义．但是，“必不可少”并不意味“足够
”(难道红皮书都是你要买的吗？)．
　　三、数学术语中的“必要条件”与日常生活中用语“有必要”、“是必要的”等一类
词是截然不同的．
　　不能把生活中用语混同数学用语，否则总分不清“充分条件”、“必要条件”．如
上例中，“x=3”是“x2－2x－3=0”的充分条件，但“x=3”不是“x2－2x－3=0”的必要条
件，为什么呢？因为x≠3时，x2－2x－3=0照样可以成立(只要x=－1即可)．也就是
说，“x=3”并不是“x2－2x－3=0”成立的必不可少的条件．而有些同学则认为：“x=
3不是x2－2x－3=0所必要的吗？”生活用语与数学术语混淆了．另外，书写不规范
也有可能导致错误理解，如有人写：“∵x2－2x－3=0，∴(x－3)(x＋1)＝0，
　　
　　么能说“x=3不是x2－2x－3=0的必要条件”呢？其实，由x2－2x－3＝0解得x＝
3或
　　
　　四、“充分条件”、“必要条件”同一于原、逆命题皆真的命题之中．
　　从“x2－2x－3=0”是“x=3”的必要条件，“四边相等”是“四边形是正方形”的必要
条件，我们看到，必要条件不是充分条件．同样，“x=3”是“x2－2x－3=0”的充分条
件，但不是必要条件．但在有些命题中，一个条件既是另一个条件的必要条件，也
是充分条件，如“有两个角相等”是“等腰三角形”的充分条件，同时也是必
　　
　　B的必要条件．一般地，原命题、逆命题均为真命题的命题，其条件必为充要
条件．
　　
　　

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