例题讲解
学生在初中代数、平面几何的学习中遇到了大量的命题，为了突出重点降低难度，在
举例时尽量用学生熟悉的命题为例讲解简易逻辑的有关知识．
例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1) 正方形既是矩形又是菱形．
(2) π不是有理数．
(3) 3≥3．
(4) 如果a2=b2，那么a=b．
说明：此例旨在让学生会判断命题的形式，属于p且q、p或q、非p、若p则q中的哪一
种．判断命题真假可在学习了真值表之后再出现．(注：例中只有(4)是假命题)．
例2．判断命题真假：
(1) 质数都是奇数．
(2) 如果一个数是6的约数，那么这个数一定是3的约数．
(3) 四边相等的四边形是正方形．
(4) 所有(凸)多边形的外角和都是360°．
(5) 0≥－2．
说明：(1)－(4)是全称性命题，判断全称命题假只需举一反例，判断其真需加以证明
．
例3．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出...点击查看全部>> 它的逆命题，否命题与逆否命题： (1) 对顶角相等．
(2) 和为90°的角互余．
说明：只有把一个假言命题写成“若p则q”或“如果…那么…”的形式，才能比较容易地将
原命题改写成它的逆命题，否命题与逆否命题的形式．应注意“若p则q”中的p、q都必须
一个完整的命题，因此需添加必要的文字使p、q分别成为一个完整的句子．
例如：“和为90°的角互余”应改写为：
若两个角的和为90°，则这两个角互为余角．
例4．写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判断四种形式命题的真假
：
(1) 等边三角形的三个角都是60°．
(2) 若x2+y2=0，则x=0且y=0．
说明：先将(1)改写成“若p则q”的形式，即：若一个三角形是等边三角形，则这个三
角形的三个角都是60°．
应注意：“三个角都是60°”的否定应是“三个角不都是60°”，而不是“三个角都不是60
°”．
命题(2)中“x=0且y=0”的否定应是“x≠0或y≠0”．
例5．用反证法证明：若一条直线与两条平行线中的一条直线相交，则这条直线与另
一条直线也相交．
已知：如图，a∥b，l与a交于A．
求证：l与b相交．
分析：假设l与b不相交，则l∥b，又因为a∥b，可推出l∥a这与已知l与a相交矛盾．
说明：用反证法证明的题目应容易一些，主要目的是让学生熟悉反证法的原理及证题
的步骤．
例6．x>2是x≥2的什么条件？
说明：判断p是q的什么条件，关键是判断以下两个命题的真、假：
“若p则q”和“若q则p”
若两个命题都真，则p与q互为充要条件；若前一个命题真，后一个命题假，则p是q的
充分不必要条件，同时，称q是p的必要而不充分条件．
本例题应让学生理解“x≥2”的意思是“x>2”或“x=2”，所以“若x>2则x≥2”是真命题；反
之由x≥2不能得出x一定大于2，所以“若x≥2则x>2”是假命题．
所以，x>2是x≥2的充分不必要条件．

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