1.8 充分条件与必要条件
[教学目的]
使学生正确理解和掌握充分条件、必要条件和充要条件.
[重点难点]
重点、难点：关于充分条件、必要条件和充要条件的判断.
[教学设想]
1.教法 2.学法 3.课时
[教学过程]
§1.8.1 充分条件与必要条件
[教学目的]
使学生理解充分条件与必要条件的涵义，并会进行判断.
[教学过程]
一、引 入
同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：
“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子
”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.
那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条
件与必要条件.
二、学习、讲解新课
⒈符号“”的含义
前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“...点击查看全部>> 若p则
q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p
q，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.
简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；
“若p则q”为假，记作pq（或qp）.
符号“”叫做推断符号.
例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 x2>0；
又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形
全等两三角形面积相等.
说明：⑴“pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.
⑵“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”.
练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.
答案：⑴；⑵；⑶；⑷.
若用符号“”与“”填空再做上题，结果如何？
答：⑴；⑵；⑶：⑷.
⒉什么是充分条件？什么是必要条件？
如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两
三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等
”的必要条件.
⒊充分条件与必要条件的判断
1.直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴
p：x=y；q：x2=y2.
⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件
，q是p的必要条件；
又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条
件，p也是q的必要条件.
练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.
答案：⑴∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；
⑵∵qp，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；
⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件
，p也是q的必要条件.
⑷∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件
，p也是q的必要条件.
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不
是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命
题来进行判断.
2.利用逆否命题判断：即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”
.
例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿
色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么
条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为
绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在
A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”.
∵“B不为绿色
A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条
件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”.
如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充
分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以
保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保
证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能
为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件
简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p
）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分
”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
三、小 结
本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充
分条件与必要条件的方法.
判断充分条件与必要条件的依据是：
若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；
若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件.
四、布置作业
(一)复习：课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容.
(二)书面：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件；
⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件；
⒊“x3”是“|x|3”的 充分 条件；
⒋“x>>收起