一个数列问题的推广及应用
问题：如果成等差数列，成等比数列，且都是正数，
求证：
该题出自高中《代数》下册（必）第129页，本文试图对它作两方面的推广，并予以应
用.
1．问题的推广
因正数成等比数列，必有成等差数列，故问题的等价说法是：
如果与分别成等差数列，那么

于是可推广，得
定理1 如果和P、Q、R分别是两个等差数列的第、、项，则

证明：设它们的公差分别是与，则
左边

右边.
考虑到自然数列也是等差数列，便有
推论1 如果P、Q、R是某等差数列的第项，则

另外，问题的结论可改写成：

于是又得：
定理2 若和分别是一个等差数列和一个等比数列的第项，则
.
证明：由推论1知成立，设定理中等比数列的公比为，则
左边右边.
仍然注意自然数数列，有...点击查看全部>> r /> 推论2 若分别是等比数列的第项，则

注记
如果都是正数，则定理2和推论2的结论均可相应地写成问题的结论的形式.
2．应用举例
例1．等差数列中，设求
解：由推论1，得

∴
如令则，用同样的方法可速解《代数》下册第48页第5题.
例2．已知等差数列满足记求数列的前30项之和.
解：先求，由推论1，有


从而=
∴
例3．若同时是一等差数列和一等比数列的第项，求证：

证明：视由定理2直接得证.
例4．一个等比数列的首项为公比t＞0，P,Q,R分别是第项，
则
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
略解：由推论2有取以为底的对数知故选D.
例5．10，11，12能否同时成为一等比数列的三项，试说明理由.
解：假设10，11，12是一等比数列的第项，由推论2有（设＜＜
∴
上式左端不能等于10的幂，从而矛盾，故10，11，12不能同时成为一等比数列的三项
.

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≤20），≥21），
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