充要条件教案
 
教学目标
1．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件3个概念，并能在判断、论证中正
确运用．
2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问
题打下良好的逻辑基础．
教学重点与难点
正确理解3个概念，并在分析中正确判断．
教学过程
师：上堂课后留了一道题：给出原命题“若A，则B”(板书)，写出它的逆命题、否命题
、逆否命题．请同学们回答．
生：(口答，师板书)
原命题：若A，则B．
逆命题：若B，则A．
否命题：若非A，则非B．
逆否命题：若非B，则非A．
师：请同学们构造4个原命题，写在投影片上．要求是：
(1)原命题成立，逆命题不成立；
(2)原命题不成立，逆命题成立；
(3)原命题成立，逆命题成立；
(4)原命题不成立，逆命题也不...点击查看全部>> 成立．
(师巡视后，选4位同学的投影片待用．以下讨论将随机应变，下面写的只是一种设想
．)
师：(取第一位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如果 x=y，那么x2=y2．
师：这个原命题成立吗？
生：(口答)成立．
师：这个原命题的逆命题是什么？是否成立？
生：(口答)这个原命题的逆命题是：如果x2=y2，那么x=y．不成立．
师：请举一个逆命题不成立的例子．
生：(口答)例：取 x=1，y=-1．满足x2=y2，但x≠y．
师：如果我们把原命题的条件“x=y”记作A，把原命题的结论

称A是B的充分条件，B是A的必要条件．由于逆命题不成立，即

这个例子的原命题成立，但它的逆命题不成立．即“x=y”是“x2=y2”的充分但不必要条
件．
师：(取第二位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等．

师：这个原命题成立吗？
生：(口答)不成立．
师：请举一个例子．
生：(板书)
因为AA′∥BC，所以S△ABC=S△A′BC．但这两个三角形不全等．
师：请叙述这个原命题的逆命题，并说明是否成立．
生：(口答)
如果两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等．
这个逆命题成立．
师：如果原命题不成立，而逆命题成立．我们说原命题的条件对结论的成立是必要但
不充分的．也就是说：“两个三角形面积相等”是“这两个三角形全等”的必要但不充分条
件．把本例原命题的条件记作A，结论记作B．由于原命题不成立，而逆命题成立．即：
A B，则称A是B的必要但不充分条件．
师：(取第三位同学投影片定格，板书．)
原命题：x2+y2=0，则x=0且 y=0．这个命题成立吗？
生：(口答)成立．
师：这个原命题的逆命题怎样叙述？是否成立？
生：(口答)“如果 x=0且
y=0，则x2+y2=0”．这个逆命题是成立的．师：如果原命题成立，逆命题也成立．我们说
原命题的条件是其结论的既充分又必要的．本例中，把“x2+y2=0”记作A，把“x=0且y=0”
分且必要条件，简称A是B的充要条件．
师：(取第四位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如a＞b，则|a|＞|b|．
这个原命题成立吗？并说明理由．
生：(口答)不成立．例：a=-1，b=-
2．满足a＞b，但不满足|a|＞|b|．师：请说出这个原命题的逆命题，并说明是否成立． 生：(口答)“如果|a|＞|b|，则a＞b”．不成立．例：a=-
3，b=1．满足|a|＞|b|，但不满足a＞b．
师：如果把原命题的条件记作A，原命题的结论记作B．本例是
A B，则称A是B成立的既不充分又不必要条件．
现在我们总结一下，本节所讲叙的概念(板书．)

件，B是A的必要条件．

A B，称A是B的充分但不必要条件；
A B，称A是B的必要但不充分条件；
A B，称A是B的既不充分又不必要条件．
以上前两条给出了充分条件、必要条件、充要条件这3个概念；第3条给出了判断A是
B的什么条件的依据．
现在请同学们回答：A B，B是A的什么条件？
生：(讨论后回答)B是A的必要但不充分条件．
师：请同学们阅读课本第50页，有关“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．
(投影或计算机操作显示)
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个
二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：
1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
师：我们把“曲线的方程”和“方程的曲线”看成条件A，把关系1、2看成B．它们都是A
的必要条件．两者都满足了，A才具备充分性，即A是B的充要条件．如果两者缺一，譬如
仅把关系1看成B，那么A是B的充分但不必要条件．为此，在定义“曲线的方程”和“方程的
曲线”时，关系1、2缺一不可．实际上这也是一个充要条件问题，是我们数学中常见的等
价转换问题．
现在请看以下例题：
例1
 两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的
什么条件？
(学生讨论后回答)
生甲：两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1∥l2的充要条件．
师：这个结论对吗？
生乙：不对．因为l1∥l2，有可能l1和l2的斜率不存在．故两条不重合的直线l1、l2
的斜率相等是l1∥l2的充分但不必要条件．
师：生乙的回答很好．如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条
件呢？
生丙：把命题的结论改为“l1∥l2，且l1、l2都有斜率”即可．
例2  “0.1lgx2＞1”是“|x|＜1”成立的  
                                      [    ]．
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(学生讨论后回答)


例3 
“三棱锥(底面是非正三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等”是“三棱锥的顶点在底面
的射影是底面的内心”的什么条件？
生：(口答)是充要条件．
师：同学们再想一想．
生：是充分但不必要条件．
师：为什么？
生：因为顶点在底面的射影>>收起