反证法
[教学目的]
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些
典型问题.
[教学过程]
一、引 入
古希腊哲学家是怎样觉察到自己的脸给涂黑了的？
答：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂
黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑
，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认
为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、乙
的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇
怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了.
这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两
人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂
黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了.因此这是一种间接的证
明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的.
...点击查看全部>> > 像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反
面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“.
我们证明数学命题，一般多用直接证法[就是直接从命题的题设(已知部分)出发，经
过推理，推出命题的结论（求证部分）正确]
.但有时用直接证法不易实现，则可采用间接证法，如反证法就是其中的一种，下面我们
把上述问题变成数学上的叙述.
二、学习、讲解新课
⒈什么是反证法？
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的
，从而断定A是正确的.
即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证
的一种数学证明方法.
例如，在上述例子中，要证明的结论是“甲的脸也给涂黑了”.在证明这个结论时，是
先提出与结论相反的假设：“甲的脸没被涂黑”，然后根据乙对丙的笑不感到奇怪这个事
实（本来由“甲的脸没被涂黑”应推出“乙对丙的笑应感到奇怪”），推导出这个与结论相
反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立.
关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.
我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了
平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来
证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”
.
已知：如图，AB∥EF，CD∥EF，求证：AB∥CD.
证明：假设AB不平行于CD，则AB与
CD就要交于一点，设交点为P.∵AB∥EF，
CD∥EF，于是经过点P就将有两条直线AB
和CD都与EF平行，根据平行公理，这是不可能的.∴AB与CD不能相交，只能平行.
以上例子说明，无论是在日常生活中还是在数学中，都经常应用反证法.而且在某些
情形下它还是一种比较简捷的证明方法.
⒉反证法的主要步骤
仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定—推理—否
定—肯定，四个步骤，即
⑴否定结论—假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；
⑵推出矛盾—由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得
出矛盾；
⑶否定假设—由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；
为什么根据这个矛盾就可以断定原来的假设错了呢？因为在人们的思维中，有这样一
个规律：在同一时间内，对于同一个对象的两个相互矛盾的思想，不可能都是对的，无
论如何至少有一种是错误的.如一个说今天是星期一，另一个说今天是星期二，显然这两
个说法不可能都对，至少有一个说法是错误的，因为对同一天来说不可能又是星期一，
又是星期二.这个规律在逻辑学中叫做矛盾律.
⑷肯定结论—由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.
为什么由否定结论是不对的，便可肯定结论成立呢？这是因为在人们的思维过程中，
还要遵守这样一个规律：如果一种思想肯定某种东西，而另一种思想却断然否定这同一
种东西，那么在这两种思想中必然有一种是正确的，而另一种是错误的，即若肯定是对
的，那么否定就是错误的；若否定是正确的，那么肯定就是错误的.在这肯定与否定之间
不会再有第三种解决的办法.如关于同一个时间，一个说现在是12点正，另一个说不，不
是12点正，那么或者第一种说法是对的，或者第二种说法是对的；又如，这张纸是白的
，不，这张纸不是白的，那么或者纸是白的对，或者纸不是白的对，不可能有第三种解
答.这个规律在逻辑学中叫做排中律.
在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通
常有以下几种情况：
①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；
②推出与已知条件相矛盾的结论；
③推出与“暂时假设”相矛盾的结论；
④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.
⒊例题巩固，反馈矫正
例1（P32例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么.
证明：假设不大于，则或者<,或者=.∵a>0，b>0，
∴<<与<与
ab>0矛盾，∴.
例2（P32例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，
且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP后，可推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾.
证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推
论，有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾.
∴弦AB、CD不被P平分.
练习：课本P33练习：1，2.
提示：1.设b2-
4ac0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.
2.设B900，则C+B1800，得出矛盾.
三、小 结
本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前
三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法—先假设论题A的反面为真
，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结果，从而说明A的反面是谬误的；于
是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然A的反面是谬误的，那么论题A就一定是正
确的，至此，论题得证.
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固反证法的原理和步骤.
(二)书面：课本P33-34习题1.7：5.
补充题：⒈若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.
⒉试证：一个命题与它的逆否命题是等价的.
提示：5.已知ABC中，ABAC，设B=C，则AB=AC，得出矛盾.
补充题：⒈假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整>>收起