与抛物线有关的若干几何最值问题
(2010-12-14 11:25:34)
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|标 |分类： 知识点总结归纳 |
|签： | |
|抛物线 | |
|最小值 | |
|定理 | |
|对称轴 | |
|直角三角| |
|形 | |
|教育 | |
定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.
 
定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 
 
定理3.设A(a,0)是抛物线
y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则 │MA│m in
= 证明:由│MA│2=...点击查看全部>> (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2  = [x-(a-p)]2+p(2a-
p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.
 
定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, 
F是焦点,M是抛物线上的动点,则  (│MA│+│MF│)min =a+p/2. 
                                        
定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条
切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2.
 
定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小
值为4p2.                                                                    
                            
定理7.抛物线 y2=2px的内接等腰直角三角形的面积的最小值为4p2. 
 
定理8.设AB是抛物线的焦点弦, 准线与抛物线对称轴的交点为M,
则∠AMB的最大值为π/2. 
 
定理9.设AB是抛物线 y＝a x2 (a＞0) 的长为定长m的动弦, 则 
 Ⅰ.当m≥1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为（2ma-1)/4a
;            
 Ⅱ.当m＜1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为 am2/4. 
 
定理10. 设AB是抛物线 y2＝2px的焦点弦, O为坐标原点,
则三角形OAB的面积的最小值为 p2/2

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