第1节 变化率与导数、导数的计算（两课时）
1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与
自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ．
2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间(
a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的
，记作或，函数的导函数在时的函数值
，就是在处的导数.
3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数
所表示曲线在相应点处的 .
4．求导数的方法
(1) 八个基本求导公式
＝ ； ＝ ；(n∈Q)
＝ ， ＝
＝ ， ＝
＝ ， ＝
(2) 导数的四则运算
＝ ＝
＝ ，＝
(3) 复合函数的导数
设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导，
且＝ ...点击查看全部>> ，即.例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解 ∵Δy=

变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.
解

例2. 求下列各函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）
解 (1)∵
∴y′
（2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.
方法二 =
=（x+3）+（x+1）（x+2）
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11
.
（3）∵y=∴
（4） ，∴
变式训练2：求y=tanx的导数.
解 y′
例3. 已知曲线y=
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，
则切线的斜率k=|=.
∴切线方程为即
∵点P（2，4）在切线上，∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .
答案 2或
例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，
并求出此定值.
（1）解 ，于是解得或
因为a,bZ，故
（2）证明 在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为
．
令x=1，得，切线与直线x=1交点为．
令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2.
变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线
方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.
解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ①
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0，d=0. ②
∴f（x）=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-
1）.
∴a+c+1=-1. ③
∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④
由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为
1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.
3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.

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