第2节 导数的概念及性质（两课时）
1． 函数的单调性
⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为
；若＜0，则为 .（逆命题不成立）
(2) 如果在某个区间内恒有，则 .
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 确定函数的 ；
② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③
把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的
顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定在各小开区间内的
，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.
2．可导函数的极值
⑴ 极值的概念
设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或
），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：
① 求导数；
② 求方程＝0的 ；
③
检验在方程＝0的根左右的符号，...点击查看全部>> 如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，
那么函数y＝在这个根处取得
；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b
)内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内
有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：
① 求y＝在(a ,b )内的 值；
② 将y＝的各
值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的
，为函数的 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的
，为函数的 .
例1. 已知f(x)=ex-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-
∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理
由.
解：=ex-a.
（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.
（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.
∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.
∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.
方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.
变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f(x)在（-
1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
（1）解 由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，
∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,
故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.
（2）解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.
∵-1 在x∈(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.
（3）证明 ∵f(-1)=a-2 例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-
y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0
①
当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0
②
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.
∴1+a+b+c=4.∴c=5.
（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,
令=0,得x=-2,x=.
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
|x |-3|(-3,-2)|-2| |[pi| |1 |
| | | | | |c] | | |
| y′ | |+ |0 |- |0 |+ | |
|y |8 |单调递 |13|单调递 |[pi|单调递 |4 |
| | |增 | |减 |c] |增 | |
| | |↗ | |↘ | |↗ | |
∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为
变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
解 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.
导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:
|x |-2 |(-2,-1)|-1 |(-1,0)|0 |(0,1) |1 |(1,2) |2 |
|y′ | |- |0 |+ |0 |- |0 |+ | |
|y |13 |↘ |4 |↗ |5 |↘ |4 |↗ |13 |
从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.
例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.
解 ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0 ∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.
①当0<<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数,∴f（x）max=f（1）=e-a.
②当1≤≤2,即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴f(x)max=f=4a-2e-2.
③当>2时，即0 综上所述，当0>>收起