1.2.2组合
课标要求:
知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联
系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数与组合数
之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
教学重点:组合的概念和组合数公式
教学难点:组合的概念和组合数公式
授课类型:新授课
课时安排:2课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多
少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列
问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区
别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺
序有无关系.
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学<
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的真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通.
能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问
题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题
意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角
度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题
. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具
体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验
、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的
过程.据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知
识跟不上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的
做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题
时要根据实际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则
更能说明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高.
教学过程:
一、复习引入:1分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有
种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,……,在第n类办法中有种不
同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法
2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不
同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完
成这件事有 种不同的方法
3.排列的概念:从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元
素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的
一个排列
4.排列数的定义:从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的
个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
5.排列数公式:()
6阶乘:表示正整数1到的连乘积,叫做的阶乘规定
.
7.排列数的另一个计算公式:=
8.提出问题:
示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上
午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例
2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:组合.
二、讲解新课:
1组合的概念:一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫
做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
例1.判断下列问题是组合还是排列
(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?
有多少种不同的飞机票价?
(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?
(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不
同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?
(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信?
(5)10个人互通电话一次,共多少个电话?
问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗?
(2)什么样的两个组合就叫相同的组合
2.组合数的概念:从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫
做从 个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
3.组合数公式的推导:
(1)从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢?
启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可
以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下:
组 合 排列
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元
素的排列数,可以分如下两步:①
考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;②
对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得:
=,所以,.
(2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两
步:
① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;
②
求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:=.
(3)组合数的公式:
或
规定: .
三、讲解范例:
例2.用计算器计算.
解:由计算器可得
例3.计算:(1); (2);
(1)解: =35;
(2)解法1:=120.
解法2:=120.
例4.求证:.
证明:∵
=
=
∴
例5.设 求的值
解:由题意可得: ,解得,
∵, ∴或或,
当时原式值为7;当时原式值为7;当时原式值为11.
∴所求值为4或7或11.
例6. 一位教练的足球队共有 17
名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队
的上场队员是11人.问:
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式
做这件事情?
分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个
从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 )
,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组
合问题.
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