第五章 曲线运动
一. 知识要点：
1.
认识匀速圆周运动的概念，理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时
速度；理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算。理解线速度、角速度、周
期之间的关系：v=rω=2πr／T。理解匀速圆周运动是变速运动。
2.
理解速度变化量和向心加速度的概念，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。能
够运用向心加速度公式求解有关问题。
3.
运用极限法理解线速度的瞬时性。掌握运用圆周运动的特点如何去分析有关问题。体会
有了线速度后。为什么还要引入角速度。运用数学知识推导角速度的单位。二. 重难点解析：
1. 线速度
（1）定义：质点沿圆周运动通过的弧长Δl与所用时间Δt之比叫做线速度。它描述质
点沿圆周运动的快慢。
（2）大小： 单位：m/s
（3）方向：质点在某点的线速度方向沿着圆周上该点的切线方向。
2. 匀速圆周运动（1）定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动叫匀速圆周运动。（2）因线速度方向不断发生变化，故匀速圆周运动是变速运动，这里的...点击查看全部>> “匀速”是指速率
不变。
3. 角速度（1）定义：在匀速圆周运动中，连接质点和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值，
就是指点的角速度。描述质点转过圆心角的快慢。匀速圆周运动是角速度不变的圆周运
动。
（2）大小：，单位：rad／s
4. 周期T、频率f和转速n定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用T表示，单位为秒（s）。做圆周运动的物体运动一秒，所转过圆周的次数叫做频率，用f表示，单位为赫兹（Hz）
。1 Hz=1。
做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速。用n表示，单位
为转每秒（r／s），或转每分（r／min）。
周期频率和转速都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。
5. 描述圆周运动各物理量的关系
（1）线速度和角速度间的关系。
v= rω。
（2）线速度与周期的关系。
。
（3）角速度与周期的关系。
。
（4）考虑频率f则有：，v=2πfr。
（5）而频率f与n的关系为f=n。
以上各物理量关系有：v=ωr=2πfr=2πnr。
6. 两个有用的结论
（1）在同一个转盘上的角速度相同。
（2）同一个轮子的边缘上，线速度相同，传动中线速度相同。
7. 匀速圆周运动向心加速度
（1）定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，称作向心加速度。描述线速
度改变的快慢。
（2）公式：=ω2r==4π2n2r=4π2f2r=ωv。
（3）方向：总是沿着半径指向圆心。
（4）向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动。【典型例题】
[例1]
如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是
磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r1=0.5
cm，满带一边半径为r2=3cm，已知主动轮转速不变，恒为nl=36r／min，试求：
（1）从动轮2的转速变化范围；
（2）磁带运动的速度变化范围。
解析：本题应抓住主动轮（r1）的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带
走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解。（1）因为v=rω，且两轮边缘上各点的线速变相等，所以r2=r1，即n2=n
1当r2=3cm时，从动轮2的转速最小，nmin==6r／min.当磁带走完即r2=0.5cm，r1=3
cm时，从动轮2的转速最大，为n2max=n1==216r／min，故从动轮2的转速变化
范围是6r／min～216r／min。
（2）由v=r12πnl得知：r1=0.5cm时，
v1=0.5×10-2×2π×m/s=0.019m/s
r1=3cm时，v2=3×10-2×2π×=0.113m／s。
故磁带运动的速度变化范围是0.0 l 9m／s～0.1 1 3 m／s。[例2]
一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h，甩出的水滴在
地面上形成一个圆，求此圆半径r为多少?

解析：雨滴飞出的速度大小为v=ωR， ①
雨滴做平抛运动。
在竖直方向上有 h= ②
在水平方向上有 S=vt ③
由几何关系知，雨滴半径 r= ④
解以上几式得 r=R点评：雨滴离开伞边缘后沿切线方向水平抛出，做平抛运动，特别注意不是沿半径飞出
，其间距关系见俯视图.。值得注意的是把立体图转化为平面图这个思想很重要，有助于
我们弄清各物理量间的几何关系。[例3] 一质点沿着半径r=1 m的圆周以n=2r／s的转速匀速转动，如图。试求：
（1）从A点开始计时，经过s的时间质点速度的变化；
（2）质点的向心加速度的大小。

解析：① 求出s的时间连接质点的半径转过的角度是多少?
② 求出质点在A点和s末线速度的大小和方向。
③ 由矢量减法作出矢量三角形。
④ 明确边角关系，解三角形求得△v的大小和方向。
⑤ 根据或an=ω2r求出向心加速度的大小。
答案：（1）△v=2πm/s 方向与OA连线成45º角指向圆心O（2）a=l6π2[例4] 如图所示，一个球绕中心轴线的角速度ω做匀速圆周转动，则（ ）
A. a、b两点线速度相同
B. a、b两点角速度相同
C. 若θ=30º，则a、b两点的速度之比va：vb=：2
D. 若θ=30º，则a、b两点的向心加速度之比aa：ab=：2

解析：由于a、b两点在同一球上，因此a、b两点的角速度ω相同，选项B正确.而据v=
ωr.可知va vb=：2，选项C正确，由a=ω2r，可知aa：ab=ra：rb=：2，选项D正确。[例5]
如图所示，定滑轮的半径r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，
测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1
m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω= rad／s，向心加速度a=
m/s2。（滑轮质量不计）

解析：根据机械能守恒有mgh=，v=2m／s。
显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上
每一点的转动角速度为
ω==rad/s=100rad／s，
向心加速度为
a=ω2>>收起