奇偶性周期性单调性专题
第九讲 函数的奇偶性、周期性及其单调性
一、知识概要
1. 与函数单调性、奇偶性相关的知识网络









2. 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
奇函数的图象关于原点对称, 在原点的两侧具有相同的单调性; 偶函数的图象关于y轴对称, 在原点的两侧具有相异的单调性.
单调性是函数的局部性质, 函数的单调区间是定义域的子集, 即函数的增减性是相对于函数的定义域中的某个区间而言的, 函数单调性定义中的、相对于单调区间具有任意性.
讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二差, 三判断”
三个步骤.
复合函数的单调性:
(1) 若是上的增函数, 则的增减性与的增减性相同;
(2) 若是上的减函数, 则的增减性与的增减性相反.
3、函数的奇偶性：
⑴偶函数： 设（）为偶函数上一点，则（）也是图象...点击查看全部>> 上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，
4、函数的周期性：
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T为这个函数的周期.>>收起

第九讲 函数的奇偶性、周期性及其单调性
一、知识概要
1. 与函数单调性、奇偶性相关的知识网络2. 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 (
即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时)
是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
奇函数的图象关于原点对称, 在原点的两侧具有相同的单调性;
偶函数的图象关于y轴对称, 在原点的两侧具有相异的单调性.
...点击查看全部>> 单调性是函数的局部性质, 函数的单调区间是定义域的子集,
即函数的增减性是相对于函数的定义域中的某个区间而言的,
函数单调性定义中的、相对于单调区间具有任意性.
讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二差,
三判断”
三个步骤.
复合函数的单调性:
(1) 若是上的增函数, 则的增减性与的增减性相同;
(2) 若是上的减函数, 则的增减性与的增减性相反.
3、函数的奇偶性：
⑴偶函数： 设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，
4、函数的周期性：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有
，则为周期函数，T为这个函数的周期.
5、函数的单调性：
对于给定区间D上的函数，若对于任意x1，x2 D。当x1 f(x2)(或f(x1)> f(x2))则称是区间D上的增（减）函数.
➢ 判断函数单调性的常用方法：
← 定义法：
← 导数法：
← 利用复合函数的单调性：
➢ 关于函数单调性还有以下一些常见结论：
①两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数
的差是增（减）函数； ②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反
的单调性；
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性；
➢ 求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等
5. 函数的图象
函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程
中，充分发挥图象的工具作用。
图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。二、题型展示
例１. 判断下列各函数的奇偶性。
（1）
（2）
例２.设是上的奇函数，，时，，则f(7.5)等于（ ）
A．0．5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5
例３ 已知函数为奇函数。
1. 求m的值；
2. 解关于x的不等式例４．设是定义在R上的函数，满足。且时，
1. 求时，的表达式；
2. 求和的值；
3. 证明是奇函数。例５．已知函数为奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集
是________
例６　设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，
，则时，___________.
三、题型训练
1.（2002全国理，10）函数y=1－的图象是（ ）

2.（2001北京春，理7）已知f（x6）＝log2x，那么f（8）等于（ ）
A. B.8 C.18 D.
3.（2000春季北京、安徽，14）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图5—1则
（ ）
A.b∈（－∞，0）
B.b∈（0，1）
C.b∈（1，2）
D.b∈（2，＋∞）
4.（2000上海春，16）若0＜a＜1，b＜－1，则函数f（x）＝ax＋b的图象不经过（
）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.（1998全国文11，理10）向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的
函数关系的图象如图5—2所示，那么水瓶的形状是（ ）

6.已知是定义在（-
1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，，试确定a的取值范围。
7.（2003上海春，20）已知函数.
（1）证明f（x）是奇函数；并求f（x）的单调区间.
（2）分别计算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出
涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
四、真题演练
1．（2006年北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是(
)
（A） （B） （C）
（D）
2．（2006年全国卷II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对
称，则f(x)的表达式为 ( )
(A) f(x)＝(x＞0) (B) f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C) f(x)＝－log2x(x＞0)
(D) f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
3．（2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 (
)
A. B. C. D.
4. （2006年上海春卷）已知函数是定义在上的偶函数.
当时，，则当时， .
5． (2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
( )
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
6.
（2006年福建卷）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间
上的最大值是12。 （I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若
存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
7. （2005年浙江卷）已知函数和的图象关于原点对称，且．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)解不等式；
(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．
附:(参考答案)
题型展示: 例１（1）非奇非偶函数（>>收起