二面角的求法
求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽
然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不
变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.
总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点
，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.
1 定义法
即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角
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.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖
源出定义这个“根”！.
例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 .
分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为
二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”
这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉
思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1
是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=，故所求二面角
的大小为arctan.
将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的大小为 .
在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-
C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos
∠A1OC1=，那么所求二面角的大小为arccos.更有趣的是，还可求得tan∠O1OC
1=，所以二面角A1-BD-
C1的为大小为2arctan.又tan∠C1OO1=，所以二面角A1-BD-
C1的大小又可为2arctan.其实，三个值都是相等的，那么arccos与
2arctan及2arctan就在本质上取得了沟通.
例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC
中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：
EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起
到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连
接A1B、A1P.
(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数值表示).
分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里
更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易
证得△BEQ≌△
PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1Q
P≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-
F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=
，QM=FM=，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=，故二面角B-A1P-
F的大小为.
2 三垂线法
这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.
此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面
内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB
⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.
最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作
出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB
)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？
例3(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈
，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求： (Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.
分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白
的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.
作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥A
B交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的
平面角.
依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，则在Rt△A1EF中，sin∠A1F
E==，故二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
与图3中的Rt△PAB比较，这里的Rt△A1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种
变化，乃至更复杂变化的思想准备.
3 垂面法
事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1
FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法
.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.
例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别
为4、3、，求二面角的大小.
分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知
l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.
分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.
因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.
分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，
则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.
4 面积法
如图1，设二面角C-BD-
C1的大小为，则在Rt△COC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便.
例5
如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，B
B1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小.
分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1， 则△A1B1C1≌△A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=
，所以等腰△A1B1C1的面积为，又正△ABC的面积为.
设所求二面角的大小为，则cos=，所以.
5 变式二面角的求法
以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯
，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.
5.1 “无棱”二面角的求法
严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对
于这样的问题，有两种处理办法：
(1)用面积法，见例5；
(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.
在例5中，延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于G、H，连GH.
作CM⊥GH于M，连C1M，C1M⊥GH，则∠CMC1是所求二面角的平面角.
由平几知识得CG=4，CH=2，则△CGH的面积为，又△CGH的面积为CH·CM.
又由余弦定理得GH=，所以CM=2，则在Rt△CMC1中，tan∠CMC1=2，那么所求的二
面角为arctan2.>>收起
