高一数学易错、易混、易忘典型题目
【前言】
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之
不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合多
年教学经验精心挑选学生在考试中常见的易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高
考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为
相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习
帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在数学中乘
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风破浪，实
现自已的理想报负。
【易错、易混、易忘典型题目】
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
1. 设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解
题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时
a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综
上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立
起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对
集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，
解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其
中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：
集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆
，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的
位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是
。答案：或。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知,求的取值范围
【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解
，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大
。
解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=
+因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=-
时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是[1, ]
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-
1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
3. 是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数
【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域
而出错。
解析：（1）利用（或）求得a=1.
（2）由即，设,则由于故，，而所以
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函
数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。
（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数
值要互换。
【练3】（2004全国理）函数的反函数是（）
A、 B、
C、 D、
答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位
例4、已知函数，函数的图像与的图象关于直线对称，则的
解析式为（）
A、 B、 C、 D、
【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数，而认为的反函数是
则==而错选A。
解析：由得从而再求的反函数得。正确答案：B
【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数，他只是表示中x用x-
1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设则，
再将x、y互换即得的反函数为，故的反函数不是，因此在今
后求解此题问题时一定要谨慎。
【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f-1(x)，则函数y= f-1(1-
x)的图象是（）
答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。 5. 判断函数的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函
数为非奇非偶函数的错误结论。
解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定
义域下易证即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分
条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。
（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求
解函数中字母参数的值。
【练5】判断下列函数的奇偶性：
①②③
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
6. 函数的反函数为，证明是奇函数且在其定义域上是增函数。
【思维分析】可求的表达式，再证明。若注意到与具有相同的单调性和
奇偶性，只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。
解析：，故为奇函数从而为奇函数。又令在和上
均为增函数且为增函数，故在和上分别为增函数。故分别在
和上分别为增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反
函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定
义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定
义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。
【练6】（1）（99全国高考题）已知 ，则如下结论正确的是（）
A、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数
C、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数
答案：A
（2）（2005天津卷）设是函数的反函数，则使成立的的取值范围
为（）A、 B、 C、 D、
答案：A （时，单调增函数，所以.）
【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优
先的原则。
例7、试判断函数的单调性并给出证明。
【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注
意定义中的的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要
树立定义域优先的意识。
解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在上的单调性即
可。设 ， 由于 故当
时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数。又
由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在为增函数。综上所述：函数
在和上分别为增函数，在和上分别为减函数.
【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、
最值等问题中，应引起足够重视。
（2）单调性的>>收起
