专题8：极限与导数（理）
1. 考点回顾
1.数学归纳法是证明关于自然数 (改为“与自然数n有关”
)的命题的一种方法，在高中数学中有着非常重要的用途，是高考命题的热点内容之一。2.函数极限和数列极限仍然以选择题或填空题为主，主要考查基本计算，有时也在解答
题的最后一问出现，中等或偏易的难度（文科不要求函数的极限）。
3.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题
为主，主要考查导
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数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
4.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不
可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式问题等，是
（改为“已成为”）高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调
区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用
。
5.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定
区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比
较，也可以得知这就是最大（小）值。
2. 经典例题剖析
考点一：数学归纳法
例1：设正数数列的前项和满足。求，猜想的通项公式
，并用数学归纳法证明；设，数列的前项和为，求。
解析：（1）由题设可求，猜想数列的通项公式为：
，下面用数学归纳法证明：
①当时，显然成立；
②假设当时，猜想成立，即，那么当时，
由
化简可得：，即，或，又 ，
，即，所以，当时，猜想成立。
由①、②可知，对一切，有。
（2）由， ，则
所以。
答案：（1）证明见解析；（2）点评：归纳、猜想、证明这一解题模式，是解决数列问题的常用方法，在证明过程中，
要注意由n＝k到n＝k+1时，归纳假设的合理运用；另外，注意裂项项消法求和及常用的
数列极限。
考点二：数列的极限
例4：已知数列满足,求。
解析：由,得，∴数列为常数列.
∵,
∴，∴，∴数列是公比为,首项为的等比数列.，∴，∴
，∴。
答案：点评：本题主要考查特殊数列通项公式的求解和数列的极限。难点在于求出数列的
通项公式。
考点三：函数的极限和连续性
例5：设试确定的值，使存在。
解析：，，
当且仅当时，有
所以，当时，原函数极限存在。
答案：
点评：函数在某点处存在极限与函数在该点处连续的概念不同。存在极限只要求在该
点处的左右极限相等；而在该点连续则还要求左右极限的值同时等于函数在该点处的函
数值。例6：设，（1）求；（2）求的值使在处连续。
解析：（1）当时，；当时，，。所以，。（2），。因为在处连续，则，此时。
答案： （1）；（2）
点评：本题主要考查函数连续的概念，应和上一题进行对比。
考点四： 导数的概念及其运算
例3：用定义求在点处的导数。
解析：分别求出在处的左右极限，
，即。
答案：点评：导数的定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、法则都无法求导时，
就要考虑用定义法去求导，本题是分段函数在分界点处的导数，只能用定义法去求，这
时要注意，只有当左、右导数都存在且相等时，函数在这点的导数才是存在的。
考点五：函数的最值与极值
例2：求函数在上的最大值和最小值。
解析：在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得
令 化简为
解得（舍），。当单调递增；当单调递减。所以为函数
的极大值。
又因为 所以 函数在上的最小值为，函数在上的最
大值为。
答案：最小值为，最大值为。
点评：本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值
、最小值以及综合运算能力。
考点六：导数的应用
例7：如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数在区间内单调递增；
②函数在区间内单调递减；
③函数在区间内单调递增；
④当时，函数有极小值；
⑤当时，函数有极大值；
则上述判断中正确的是________________。
解析：由导函数图像可知，当时，，所以在上为减函数，同理可
知：在上为减函数。在和上为增函数。所以可以排除①和②，
③是正确的。又由于函数在的左侧递增，右侧递减，所以时，函数有极
大值；在左右两侧函数的导数均为正数，所以不是函数的极值点，从而排除
④和⑤。
答案： ③
点评：本题主要考查函数的单调性和极值与导数的关系，属于逆向思维的题目。例8：已知向量在区间上是增函数，求的取值范围。
解析：解法1：依定义
，
开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立
.
解法2：依定义 ，的图象是开口向下的抛物线， ，
，。
答案：
点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以
及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。
例9：（07年海南理科）设函数，（1）若当时，取得极值，求的
值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有
极值之和大于．
解析：（1），依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（2）的定义域为，．
方程的判别式．
①若，即，在的定义域内，故的极值．
②若，则或．若，，．
当时，，当时，，所以无极值．若，，，
也无极值．
③若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方
法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为
．
答案： （1）；（2）见详解。
点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用。
3. 方法总结与2008年高考预测
（分析2008年高考命题趋势，对命题难度，内容，热点等作总结）
（一）方法总结
1.极限的概念和运算法则是微积分中最重要的工具，也是学好导数的基础。它是历年高
考的重点考查内容，多与分类讨论相结合。通常与数列结合的题目要多一些，解答时要
求先求出数列的通项公式或是前项和公式再求极限。求函数的极限时，经常要用到
常见函数的极限及两个重要极限（解决函数极限的小题时可用洛毕达法则）。通过恒等
变形用函数极限的四则运算法则求相关函数的极限，或利用初等函数在其定义域内每一
点处的极限值等于该点函数值求函数的极限或利用函数的极限判定函数在给定点处的连
续性。归纳法也是本章常见的考查点，一定要注意用数学归纳法解题时的步骤。
2.导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的
有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算
是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函
数的导数，掌握求导数的方法。应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型
，了解导数概念的实际背景。>>收起
