人教版数学必修5__第二章_数列___章末检测（附答案解析）
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- 资料编号：17635
- 资料类型：同步练习/高二上册/数学
- 资料版本：人教版
- 适用范围：全国通用
- 授权方式：整理
- 所属地区：湖北省
- 资料格式：doc
- 上传日期：2011-09-29
- 等级评定：二星资源
- 下载次数：0
内容摘要：
章末整合 【对点讲练】
一.等差数列与等比数列的基本运算
例1已知{an}是各项为不同的正数的等差数列,lga1、lga2、lga4成等差数
列.又bn＝,n＝1,2,3,….
(1)证明:{bn}为等比数列;
(2)如果数列{bn}的前3项的和等于,求数列{an}的通项公式an及数列{bn}的前n项和T
n.
点拨先利用等差数列{an}的首项a1和公差d来表示bn,再证明{bn}为等比数列.
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【解答】(1)证明∵lga1、lga2、lga4成等差数列,∴2lga2＝lga1＋lga4.
即a＝a1a4,设等差数列{an}的公差为d,则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d),整理得d2＝a1d.
∵d≠0,∴a1＝d.∴a2n＝a1＋(2n－1)d＝2n·d,
∴bn＝＝·.∴{bn}是以为首项, 为公比的等比数列.
(2)解∵b1＋b2＋b3＝＝,∴d＝3,∴a1＝d＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d＝3n,bn＝·n.
Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝
回顾归纳在等差数列{an}中,通常把首项a1和公差d作为基本量,在等比数列{bn}中,通
常把首项b1和公比q作为基本量,列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的
常用方法.
【变式1】等差数列{an}中,a4＝10,且a3,a6,a10成等比数列,求数列{an}前20项的和
S20.
【解答】设数列{an}的公差为d,则a3＝a4－d＝10－d,a6＝a4＋2d＝10＋2d,
a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3,a6,a10成等比数列得a3a10＝a,
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2,整理得10d2－10d＝0,解得d＝0或d＝1.
当d＝0时, S20＝20a4＝200;
当d＝1时,a1＝a4－3d＝7, S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
二.数列的通项公式和前n项和
例2在数列{an}中,a1＝1,an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和.
点拨先利用等差数列的定义判断{bn}是等差数列,借助bn求出an是解决第(2)小题的关
键.
【解答】(1)证明由已知an＋1＝2an＋2n
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1,又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)解由(1)知,bn＝n, ＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1
两边乘以2得: 2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n
两式相减得:－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
回顾归纳递推数列问题通常借助构建等差数列或等比数列来解决.把一般数列问题转
化为两种基本数列问题是解决数列的一种常用思想方法.
【变式2】已知数列{an}的首项a1＝,an＋1＝,n＝1,2,….
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前n项和Sn.
【解答】(1)证明∵an＋1＝,∴＝＝＋·,∴－1＝,
又a1＝,∴－1＝.∴数列是以为首项, 为公比的等比数列.
(2)解由(1)知－1＝n,∴＝1＋,∴＝n＋.
设Tn＝＋＋＋…＋,则Tn＝＋＋…＋＋
∴Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－＝1－
∴Tn＝2－.又1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1).
∴数列的前n项和Sn＝2－＋.
三.等差数列与等比数列的综合运用
例3已知等差数列{an}的首项a1＝1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四
项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn＝ (n∈N*),
Sn＝b1＋b2＋…＋bn,是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有Sn>总成立?若存在,求出
t;若不存在,请说明理由.
点拨解答本题的关键是求出{an}的通项公式,注意Sn大于总成立⇔小于Sn的最小值.
【解答】 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2,整理得2a1d＝d2.
∵a1＝1,解得(d＝0舍),d＝2.∴an＝2n－1 (n∈N*).
(2)bn＝＝＝,
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立,
又Sn＋1－Sn＝－＝>0,
∴数列{Sn}是单调递增的.∴S1＝为Sn的最小值,故<,即t<9.
又∵t∈N*,∴适合条件的t的最大值为8.
回顾归纳数列的综合问题形式上看来比较复杂,实质上求数列的通项公式和前n项和是解
答这类综合问题的根本性问题和关键性所在.
【变式3】设数列{an}的首项a1＝1,前n项和Sn满足关系式:
3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t (t>0,n＝2,3,4,…).
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1＝1,bn＝f
(n＝2,3,4,…).求数列{bn}的通项bn;
(3)求和:b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1.
(1)证明由a1＝S1＝1, S2＝1＋a2,得a2＝, ＝.
又3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t,①
3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t.②
①－②,得3tan－(2t＋3)an－1＝0.∴＝, (n＝2,3,…).
∴数列{an}是一个首项为1,公比为的等比数列.
(2)解由f(t)＝＝＋,得bn＝f＝＋bn－1.
∴数列{bn}是一个首项为1,公差为的等差数列.∴bn＝1＋(n－1)＝.
(3)解由bn＝,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和,公差均为的等差数列.
于是b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1
＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋b6(b5－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)
＝－(b2＋b4＋…＋b2n)＝－·n
＝－(2n2＋3n).
【课堂小结】
1.等差数列和等比数列各有五个量a1,n,d,an, Sn或a1,n,q,an,
Sn.一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解.
2.数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑:①建立基本量的方程(组)求解;②巧用
等差数列或等比数列的性质求解;③构建递推关系求解,有些数列问题还要涉及其它章节的
知识求解,如函数的思想等.
【课时作业】
一.选择题
1.数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3,则a4＋a5＋…＋a10等于( )
A.171 B.21 C.10 D.161
【解答】D
解析a4＋a5＋…＋a10＝S10－S3＝161.
2.(2010·东北三省四市联考>>收起
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