第十八章 勾股定理
18.1 勾股定理(一)
一、教学目标
1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋
学习。
二、重点、难点
1.重点:勾股定理的内容及证明。
2.难点:勾股定理的证明。
3.难点的突破方法:几何学的产生,源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及,尼
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罗河每年要泛滥一次;洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土,但也抹掉了田地之间
的界限标志。水退了,人们要重新画出田地的界线,就必须再次丈量、计算田地的面积
。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘,面积很早就成为人们认识几何图形性质与
争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法,使学生利用面积相等对勾股定理进行证
明。其中的依据是图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。三、例题的意图分析
例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;通过拼图,发散学生的
思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之
手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。进一
步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,
如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾
股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可
以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺
折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个
直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的
长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么
就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
五、例习题分析
例1(补充)已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2=c2。
分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,
利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S小正=S大正
4×ab+(b-a)2=c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷
勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之
手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2=c2。
分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=4×ab+c2
右边S=(a+b)2
左边和右边面积相等,即
4×ab+c2=(a+b)2
化简可证。
六、课堂练习
1.勾股定理的具体内容是:
。
2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系: ;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线 ;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边: ;
⑷三边之间的关系: 。 3.△ABC的三边a、b、c,若满足b2= a2+c2,则 =90°;
若满足b2>c2+a2,则∠B是 角; 若满足b2<c2+a2,则∠B是 角。
4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。七、课后练习
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
⑴c= 。(已知a、b,求c)
⑵a= 。(已知b、c,求a)
⑶b= 。(已知a、c,求b)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律
,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。|3、4、5 |32+42=52 |
|5、12、13 |52+122=132 |
|7、24、25 |72+242=252 |
|9、40、41 |92+402=412 |
|…… |…… |
|19,b、c |192+b2=c2 |
3.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动,问
当P点移动多少秒时,PA与腰垂直。
4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。
求证:⑴AD2-AB2=BD·CD
⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。
八、参考答案
课堂练习
1.略;
2.⑴∠A+∠B=90°;⑵CD=AB;⑶AC=AB;⑷AC2+BC2=AB2。
3.∠B,钝角,锐角;
4.提示:因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+
S△EDA,又因为S梯形ACDG=(a+b)2,
S△BCE= S△EDA= ab,S△ABE=c2, (a+b)2=2× ab+c2。
课后练习
1.⑴c=;⑵a=;⑶b=
2. ;则b=,c=;当a=19时,b=180,c=181。
3.5秒或10秒。
4.提示:过A作AE⊥BC于E。18.1 勾股定理(二)
一、教学目标
1.会用勾股定理进行简单的计算。
2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点
1.重点:勾股定理的简单计算。
2.难点:勾股定理的灵活运用。
3.难点的突破方法:
⑴数形结合,让学生每做一道题都画图形,并写出应用公式的过程或公式的推倒过程,
在做题过程中熟记公式,灵活运用。
⑵分类讨论,让学生画好图后标图,从不同角度考虑条件和图形,考虑问题要全面,在
讨论的过程中提高学生的灵活应用能力
⑶作辅助线,勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角三角形的条件,
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