湖北省部分重点中学2010—2011学年度上学期期末联考高二数学试题
2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足 ，则△ABP与△ABC的面积之比为 ．
2．已知数列 满足： ，则
4022 ．
3．已知 ，如果集合 ，则所有符合要求的角 构成的集合为 ．
4．满足方程 （ ）的实数对 的个数为 8 ．
5．设 是模为2的复数，则 的最大值与最小值的和为 4 ．
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2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，
只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足，则△ABP与△ABC的面积之比为．
2．已知数列满足：，则
4022 ．
3...点击查看全部>> ．已知，如果集合，则所有符合要求的角构成的集合为．
4．满足方程（）的实数对的个数为 8 ．
5．设是模为2的复数，则的最大值与最小值的和为 4 ．
6．对一切满足的实数，不等式恒成立，则实数的最小值为
．
7．设集合.如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方
程，则合格方程的个数为 23 ．
8．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的
取值范围是．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全
平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
解
（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故.
-----------------------------
-------------4分
又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故.
因此，的解析式为. --------------------------------
----------8分
（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数
，为自然数，则，从而，即.
---------------------
---------------------12分
注意到43是质数，且，，所以有解得
因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.----------
-----------16分
10．已知数列满足.证明：对一切，有
（1）； （2）．
解 （1）显然，，所以（）.
所以，对一切，，所以. --------------------5分
所以，当时，

，
所以.
又，故对一切，有.因此，对一切，有. -------------
10分
（2）显然.由，知，所以，所以
，所以，
----------------------------
--------------15分
所以，当且时，

，
所以. ------------------------------------------20分
11．已知椭圆C：，过点P而不过点Q的动直线交椭圆C于A、B两
点.
（1）求∠AQB；
（2）记△QAB的面积为，证明：．
解
（1）如果直线的斜率存在，设它的方程为，因为点P在直线上，所以
，故.
联立直线和椭圆C的方程，消去，得.
设A，B，则，，
，

-----------------------------
-------------6分
因为，，所以





＝0，
所以，显然A、Q、B三点互不相同，所以∠AQB＝90°.
如果直线的斜率不存在，则A、B两点的坐标为，容易验证∠AQB＝90°也成
立.
因此，∠AQB＝90°. --------------------------
----------------12分
（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.
如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为.
如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为，代入椭圆C的方程，消
去，得，则
.
又QB⊥QA，所以，同理可求得
. --------------------------16分
于是，△QAB的面积为

.
令，则.
注意到，，且等号不能同时取得，所以.
------------------------------------------20分
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