2.2 椭 圆
2.2.1椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方
程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的
一般方法．
◆ 过程与方法目标
（1）预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥
侧面的交线）是什么图形？
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又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的
母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理
解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥
曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（
同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无
弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔
，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移
动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点
的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭
圆的焦距．即当动点设为时，椭圆即为点集．
（ii）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称
性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的
几何意义．
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．
（iii）例题讲解与引申
例1
已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方
法来解．
另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，
则．
例2
如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足
．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点
是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表
示，从而能求点的轨迹方程．
引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程
．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵
为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的
轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．
例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点
，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于
直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点
的轨迹方程．
解法剖析：设点，则，；
代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．
引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且
，试求动点的轨迹方程．
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线
段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，
是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特
殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图
形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量的意义，培养学生用对称的美学思维来
体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方
法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随
点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学
生的对问题引申、分段讨论的思维品质．
◆能力目标
1.
想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛
物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观
地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
2.
思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几
何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题
引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
3. 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
4. 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
5.
创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问
题的一般的思想、方法和途径．
练习：第45页1、2、3、4、
作业：第53页2、3、
2．1．2 椭圆的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心
、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例
题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义
．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注
意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这
种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程
的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及
长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板
书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小
和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即
椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；
②对称性：由以代，以代和代，且以代
这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴
为对>>收起
