必修5知识点总结
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边
，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；③；
④．
（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2
、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情
况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把a扰着C点旋
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转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a
当bsinA
当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有，，
．
5、余弦定理的推论：，，．
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、
的对边，则：①若，则；
②若，则；③若，则．
正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,
但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O,
∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1
13、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公
式．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称
为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:。注：看数列是不是等差
数列有以下三种方法：
① ②2() ③(为常数
18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
19、若等差数列的首项是，公差是，则．
20、通项公式的变形：①；②；③；
④；⑤．
21、若是等差数列，且（、、、），则；若
是等差数列，且（、、），则．
22、等差数列的前项和的公式：①；②．③
23、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，（其中，）．
24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数
列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：（注：①等比数列中
不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
① ②(，)
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则
称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．（注
：由不能得出，，成等比，由，，）26、若等比数列的首项是，公比是，则．
27、通项公式的变形：①；②；③；④．
28、若是等比数列，且（、、、），则；若
是等比数列，且（、、），则．
29、等比数列的前项和的公式：①．②
30、对任意的数列{}的前项和与通项的关系：
[注]：
①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若
不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和
→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件
；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值.
如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
|数列 |通项公式 |对应函数 |
|等差数列 | |（时为一次函数） |
|等比数列 | |（指数型函数） ||数列 |前n项和公式 |对应函数 |
|等差数列 | |（时为二次函数） |
|等比数列 | |（指数型函数） |
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于
n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题：1、等差数列中，，则 .
分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，
一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，
所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差
数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大
？
分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当
时，最大。
例题：3递增数列，对任意正整数n，恒成立，求
分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即
恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显
然有最大值，所以的取值范围是：。
构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即
函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散
函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在
的左侧
也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项
和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的
第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2.
判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,
验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证>>收起
好啊
